信息学奥赛一本通（1266：【例9.10】机器分配）

1266：【例9.10】机器分配

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【题目描述】

总公司拥有高效设备M台，准备分给下属的N个分公司。各分公司若获得这些设备，可以为国家提供一定的盈利。问：如何分配这M台设备才能使国家得到的盈利最大？求出最大盈利值。其中M≤15，N≤10。分配原则：每个公司有权获得任意数目的设备，但总台数不超过设备数M。

【输入】

第一行有两个数，第一个数是分公司数N，第二个数是设备台数M；

接下来是一个N*M的矩阵，表明了第 I个公司分配 J台机器的盈利。

【输出】

第一行输出最大盈利值；

接下N行，每行有2个数，即分公司编号和该分公司获得设备台数。

【输入样例】

3 3           //3个分公司分3台机器
30 40 50
20 30 50
20 25 30

【输出样例】

70                                         //最大盈利值为70
1 1                                        //第一分公司分1台
2 1                                        //第二分公司分1台
3 1                                        //第三分公司分1台

【分析】

按照公司的顺序来分配机器，即按照公司的顺序划分阶段，第一个阶段把 m 台设备分给第一个公司，记录下来获得的各个盈利值，然后把 m 台设备分给前两个公司，和第一个阶段比较记录下来更优的各个盈利值，一直到第 n 个阶段把 m台机器全部分给了n个公司，就可以得到最优解，下面来讨论两个阶段之间的关系，设数组 f[i][j]表示前 i 个公司分配 j 台机器的最大盈利，数组 f[i-1][k]表示前 i-1 个公司分配 K 台机器的最大盈利（1<=i<=n，1<=j<=m，0<=k<=j），用value[i][j]表示第 i 个公司分配 j 台机器的盈利，则 f[i][j]可以由下面的式子中取最大值获得∶
f[i-1][0]+value[i][j] //前 i-1 公司分配 0 台机器最大盈利＋第 1 个公司分配 j 台的机器的盈利

f[i-1][1]+value[i][j-1] //前 i-1 公司分配 1 台机器最大盈利＋第 1 个公司分配 j-1 台的机器的盈利

f[i-1][2]+value[1][j-2] //前 i-1 公司分配 2 台机器最大盈利＋第 1 个公司分配 j-2 台的机器的盈利

f[i-1][j-1]+value[i][1] //前 i-1 公司 j-1 分配台机器最大盈利＋第 1 个公司分配 1 台的机器的盈利

f[i-1][j]＋value[i][0] //前 i-1 公司分配 j 台机器最大盈利＋第 1 个公司分配 0 台的机器的盈利
在这里用机器数用做每个阶段的状态，由于 value[1][j]的值为定值，要使前面每个式子的值最大，就必须使第 i-1 阶段的各个状态的值最大，阶段 i 的状态只能由阶段 i-1 中的状态通过状态转移方程求得，与其他状态没有关系。由此可见，该问题具备了最优子结构和无后效性原则，适宜使用动态程序设计方法求解。

状态转移方程为∶f[i][j]= max { f[i-1][K] + value[i][j-k] } (1<=i<=n,1<=j<=m, 0<=k<=j)
初始值∶f[0][0]=0，f[n][m]的值即为所求最大盈利值。

【参考代码】

#include <stdio.h>
int max1;
int f[11][20],value[11][20];
int show(int i,int j)
{int k;if(i==0)return 0;for(k=0;k<=j;k++){if(max1==f[i-1][k]+value[i][j-k])  // 递归求各公司分配的机器数量 {max1=f[i-1][k];show(i-1,k);printf("%d %d\n",i,j-k);break;}}
}
int main()
{int m,n,i,j,k;scanf("%d%d",&n,&m);for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=m;j++)scanf("%d",&value[i][j]);for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=m;j++){max1=0;for(k=0;k<=j;k++){if(f[i-1][k]+value[i][j-k]>max1)max1=f[i-1][k]+value[i][j-k];}f[i][j]=max1;}printf("%d\n",f[n][m]);   // 输出最大盈利值 show(n,m);                // 输出分配情况 return 0;
}

http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1266