初学快速幂的理解

　　博客停了差不多三个月，虽然这一段时间在学算法，但从来没有写博客。今天看了一上午的快速幂，突然想写写博客，增加一下自己的记忆！这个博文知识简单介绍一下算法中取余的原因

　1　至于快速幂的概念不详细记录了。当我们想求a的b次幂对c取余时，我们会直接想到用这个算法：

int ans = 1;for( i  = 1; i <= b; i++){ans = ans * a;}ans %= c;

这个算法的时间复杂度体现在for循环中，为O（b）.这个算法存在着明显的问题，如果a和b过大，很容易就会溢出。因此需要用到离散数学知识（该知识点我也没学过，度娘教的^_^）

　　定理1：

　2　由上面的公式可以推出：

把a看成 a * 1, 故由定理1可得出上面的公式。由此得到改进版本：

　　int ans = 1; a = a % c; //加上这一句for(int i = 1;i<=b;i++){ 　　ans = (ans * a) % c；//这里再取了一次余
} ans = ans % c；

这个算法在时间复杂度上没有改进，仍为O(b)，不过已经好很多的，但是在c过大的条件下，还是很有可能超时，所以，我们推出以下的快速幂算法。

3 快速幂算法依赖于以下明显的公式，我就不证明了，很简单理解。

4 由此得到改进版本：

　　int ans = 1;a = a % c;if(b%2==1) ans = (ans * a) mod c; //如果是奇数，要多求一步，可以提前算到ans中
k = (a*a) % c; //我们取a2而不是afor(int i = 1;i<=b/2;i++){ ans = (ans * k) % c;} ans = ans % c;

5 我们可以看到，我们把时间复杂度变成了O(b/2).当然，这样子治标不治本。但我们可以看到，当我们令k = (a * a) mod c时，

状态已经发生了变化，我们所要求的最终结果即为(k)^b/2 mod c而不是原来的a^b mod c，所以我们发现这个过程是可以迭代下去的。

　((迭代就是把这一次算的值作为下一次循环的初始值，所以可以更简化该算法））

当然，对于奇数的情形会多出一项a mod c，所以为了完成迭代，当b是奇数时，我们通过 ans = (ans * a) % c;来弥补多出来的这一项，

此时剩余的部分就可以进行迭代了。形如上式的迭代下去后，当b=0时，所有的因子都已经相乘，算法结束。于是便可以在O（log b）的时间内完成了。

于是，有了最终的算法：快速幂算法。

　((说实话，我对这个简化有点糊涂，关于在O（log b）的时间内就可以完成，就假装懂了吧，以后慢慢理解吧))

　int ans = 1;a = a % c;while(b>0){   if(b % 2 == 1) ans = (ans * a) % c;b = b/2; a = (a * a) % c; }

　7　将上述的代码结构化，也就是写成函数：

int PowerMod(int a, int b, int c){ int ans = 1;a = a % c;while(b>0) {   if(b % 2 = = 1) ans = (ans * a) % c;b = b/2; a = (a * a) % c; }return ans;}

这就是最后的优化代码了。以上内容是抄袭的，只不过自己又写了一遍。如果看不懂我写的的可以点下面网址：

　　http://wenku.baidu.com/link?url=PdtuRuYTZSIfAC3TZCiHSx3fk7cEn3yuZBiYwbx-b7h_TOxNyOQtNOaUepEmxw56jhnPePqAdebOH6QL- pvmhFCYYdzGhYRneUM_oZTpxwO

　　有关于快速幂的算法的推导，还可以从另一个角度来想。我就不介绍了。

转载于:https://www.cnblogs.com/lj-1568/p/4754336.html

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