回归分析加不加常数项_时间序列分析基础（一）

时间序列分析是量化投资的基础，作为本公众号的开篇，自然要从最基础的讲起。时间序列分析基础将分两个篇幅，第一篇包括时间序列的基本概念、成分与分解、自相关与偏自相关性、以及平稳性。第二篇主要讲一下用于时间序列分析的常用模型。

1.时间序列的概念、成分及分解

维基百科定义：

时间序列(time series)是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。下面都是时间序列的例子：

时间序列的成分

首先可以尝试分析时间序列的成分。时间序列的成分包括趋势性、季节性波动、随机噪声。时间序列可以用加法形式表示：

在上式中 yt 表示时间序列数据，St 表示季节项，Tt 表示趋势项，Rt 表示残差项。同时也可以写成乘法形式：

分析时间序列的成分可以帮助我们：

更容易预测剔除季节性因素后的时间序列。时间序列在剔除季节项后，可以让我们将更多的精力用在预测趋势上，而不受季节变化的影响，从而使得模型更加准确。
更容易识别季节性特征。

时间序列的分解

那么如何识别时间序列的成分呢，再来谈谈如何分解。常用的分解方法包括：经典法、K11分解法、SEATS分解法和STL分解法(Seasonal and Trend decomposition using Loess)。

以经典法为例解释时间序列的分解过程(其他方法是经典法的改良)：

使用移动平均计算 Tt 趋势项
剔除趋势项：yt - Tt
对每个季节剔除趋势项后的值计算均值作为 St 季节项。例如，对于月度数据，三月份的季节项是对所有去除趋势后的三月份的值的平均。然后将这些季节项进行调整，使得它们的加和为 0。季节项是通过将这些各年的数据排列结合在一起而得到的。
剔除趋势项和季节项得到残差项。

时间序列分解的代码实现

statsmodels 中有两个 API 可以实现时间序列的分解，分别为statsmodels.tsa.seasonal.seasonal_decompose 和 statsmodels.tsa.seasonal.STL 。其中seasonal_decompose为经典法，STL为STL分解法。

我这里推荐使用STL对时间序列进行分解，因为：

STL可以应对各种类型的季节项，如小时、周、月、年等
STL不易受异常值的影响

同时 statsmodels 文档在 seasonal_decompose 说明中也给出了建议：

注意事项

关于乘法形式还是加法形式，这里比较麻烦，因为在实际问题中，时间序列可以同时呈现出加法与乘法的特点，如：

代码如下：

数据使用的是BTC月线收盘价。

 # STL分解 from statsmodels.tsa.seasonal import STL res = STL(data_monthly['Close']).fit()  # # 画图 fig, axes = plt.subplots(4, 1, figsize=(12, 2*4)) res.observed.plot(ax=axes[0], legend=True) res.trend.plot(ax=axes[1], legend=True) res.seasonal.plot(ax=axes[2], legend=True) res.resid.plot(ax=axes[3], legend=True) plt.show()

2.自相关与偏自相关

自相关(Autocorrelation)概念：对一个时间序列，现在值与其过去值的相关性。如果相关性为正，则说明现有趋势将继续保持。

偏自相关(Partial Autocorrelation)概念：可以度量现在值与过去值更纯正的相关性。比如，当我们计算 Xt 与 Xt-1 的相关性时，Xt 可能会受到 Xt-2 的影响，同时 Xt-1 也会受到 Xt-2 的影响。而偏自相关就是用来计算剔除 Xt-2 影响后，Xt 与 Xt-1 的相关性。

偏自相关的通俗计算过程：

有三个自变量X1、X2、X3，一个因变量y：

线性回归建模：通过 X1 和 X2 预测 y，取残差
线性回归建模：通过 X1 和 X2 预测 X3，取残差
由于以上两个残差都剔除了 X1 和 X2 的影响，因此对两个残差取相关性就是 y 与 X3 的偏自相关

代码实现：

 from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf  fig, axes = plt.subplots(2, 1, figsize=(12, 4*2)) # 自相关 plot_acf(data_monthly['Close'],lags=24,title='ACF', ax=axes[0]) # 偏自相关 plot_pacf(data_monthly['Close'],lags=24,title='PACF', ax=axes[1]) plt.show()

3.时间序列的平稳性

时间序列平稳性分为严平稳和弱平稳。其中严平稳要求过于严格，不具备实用价值，本节以弱平稳为讨论对象。

弱平稳的时间序列应当满足以下条件：

均值为常数，不随时间变化；
方差为常数，不随时间变化；
自相关系数为常数，不随时间变化。

图片来源：https://static1.squarespace.com/static/53ac905ee4b003339a856a1d/t/5818f84aebbd1ac01c275bac/1478031479192/?format=750w

时间序列平稳的重要性

平稳的时间序列更容易使用简单的模型建模，而不平稳的时间序列需要更多的参数帮助建模。对于非平稳时间序列(比如有季节性)，一种方法是采用之前讲过的时间序列分解，季节期间和非季节期间分开建模或者直接使用机器学习来训练。

非平稳时间序列平稳化的方法

通常使用差分法是不平稳的时间序列平稳。具体见下文代码实现。

平稳性检验

时间序列的平稳性检验——单位根检验，常用方法有：DF检、ADF检验和PP检验。而我们可以直接调用 statsmodel 中的api。

代码实现：

平稳性检验，并对非平稳的时间序列进行差分处理

 # ADF检验 from statsmodels.tsa.stattools import adfuller adf = adfuller(data_monthly['Close']) print("p-value of monthly data: {}".format(float(adf[1])))

 p-value of monthly data: 0.7714291133372946

p值远大于0.05的显著性水平，该时间序列不平稳。尝试用差分法剔除季节性影响，提高时间序列的平稳性。

首先进行季节性差分
普通差分，进一步降低p值
完成以上两步之后，我们所得到的时间序列已经满足平稳的条件了

 # 季节性差分 data_monthly['close_diff'] = data_monthly['Close'] - data_monthly['Close'].shift(12) adf = adfuller(data_monthly['close_diff'].iloc[12:]) print("p-value of seasonal differentiation: {}".format(float(adf[1])))

 p-value of seasonal differentiation: 0.3977194646413672

 # p值有所下降，我们进一步差分 data_monthly['close_diff2'] = data_monthly['close_diff'] - data_monthly['close_diff'].shift() adf = adfuller(data_monthly['close_diff2'].iloc[13:]) print("p-value of regular differentiation: {}".format(float(adf[1])))

 p-value of regular differentiation: 1.8898138872825653e-07

可见在进行两次差分之后，数据已经为平稳的时间序列了。

参考文献：

石川《写给你的金融时间序列分析：初级篇》 https://zhuanlan.zhihu.com/p/38321845
石川《写给你的金融时间序列分析：进阶篇》 https://zhuanlan.zhihu.com/p/38322333
《5 Steps : To get an understanding on Correlation, Auto-Correlation and Partial Auto-Correlation》 https://medium.com/analytics-vidhya/5-steps-to-get-an-understanding-on-correlation-auto-correlation-and-partial-auto-correlation-e71f6b4bba81
statsmodels官方文档