权重衰退（PyTorch）

https://courses.d2l.ai/zh-v2/

文章目录

权重衰减
- 范数与权重衰减
- 演示对最优解的影响
- 参数更新法则
- 总结
从零开始实现
- 高维线性回归
- 初始化模型参数
- 定义L2L_2L2范数惩罚
- 定义训练代码实现
- 忽略正则化直接训练
- 使用权重衰减
简洁实现
QA

权重衰减

前面我们描述了过拟合的问题，本节我们将介绍一些正则化模型的技术。我们总是可以通过去收集更多的训练数据来缓解过拟合。但这可能成本很高，耗时颇多，或者完全超出我们的控制，因而在短期内不可能做到。假设我们已经拥有尽可能多的高质量数据，我们便可以将重点放在正则化技术上。

范数与权重衰减

使用均方范数作为硬性限制

通过限制参数值的选择范围来控制模型容量
minl(w,b)subjectto∣∣w∣∣2≤θmin\;l(w,b)\quad subject\;to\;||w||^2\le\thetaminl(w,b)subjectto∣∣w∣∣2≤θ
通常不限制偏移 b （限不限制都差不多）
小的 θ\thetaθ 意味着更强的正则项

一个多项式中的高次项的系数变小了，函数也就变平滑了。

使用均方函数作为柔性限制

对每个θ\thetaθ，都可以找到λ\lambdaλ使得之前的目标函数等价于下面
minl(w,b)+λ2∣∣w∣∣2min\;l(w,b)+{\lambda \over 2}||w||^2minl(w,b)+2λ∣∣w∣∣2
- 可以通过拉格朗日乘子来证明
超参数λ\lambdaλ控制了正则项的重要程度
- λ=0\lambda=0λ=0：无作用
- λ−>∞，w∗−>0\lambda \;-> \infty，w^*->0λ−>∞，w∗−>0

λ2∣∣w∣∣2{\lambda \over 2}||w||^22λ∣∣w∣∣2 就是 penalty，惩罚项

演示对最优解的影响

绿线是损失函数的取值，黄线是惩罚项的取值，两者都是圈越大取值越大

我们的目标是为了减小loss，同样的loss，那只能通过更小的w来实现

主要就看loss和penalty的变化速度，w∗w^*w∗就是二者的一个平衡点，往左下，loss变大的快，penalty的减少不足以弥补；往右上，penalty变大的快，loss的减少不足以弥补

可以看王木头学科学的视频，从“拉格朗日乘数”看到“L1L2正则化权重衰竭”

参数更新法则

计算梯度
∂∂w(l(w,b)+λ2∣∣w∣∣2)=∂l(w,b)∂w+λw{\partial \over \partial w}(l(w,b)+{\lambda \over 2||w||^2})={\partial l(w,b) \over \partial w}+\lambda w∂w∂(l(w,b)+2∣∣w∣∣2λ)=∂w∂l(w,b)+λw
时间 t 更新参数

wt+1=wt−η∂∂wtwt+1=(1−ηλ)wt−η∂l(wt,bt)∂wtw_{t+1}=w_t-\eta{\partial \over \partial w_t}\\ w_{t+1}=(1-\eta\lambda)w_t-\eta{\partial l(w_t,b_t) \over \partial w_t}wt+1=wt−η∂wt∂wt+1=(1−ηλ)wt−η∂wt∂l(wt,bt)

通常ηλ<1\eta\lambda < 1ηλ<1，在深度学习中通常叫做权重衰退

对权重参数进行衰退处理，防止其过大

看不明白的，看吴恩达1.5，有个样例图好理解

总结

权重衰退通过 L2 正则项使得模型参数不会过大，从而模型复杂度
正则项权重是控制模型复杂度的超参数

我们可以通过刚性写法，使得w总是比一个θ\thetaθ小
但是在真正优化的时候，我们是通过一个λ\lambdaλ来控制它的强度。而且λ\lambdaλ等价于每次在更新的时候对于权重做了一次放小，等价于权重衰退的过程。

从零开始实现

高维线性回归

我们通过一个简单的例子来演示权重衰减。

%matplotlib inline
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

首先，我们像以前一样生成一些数据，生成公式如下：

我们选择标签是关于输入的线性函数。标签同时被均值为0，标准差为0.01高斯噪声破坏。为了使过拟合的效果更加明显，我们可以将问题的维数增加到d=200d=200d=200，并使用一个只包含20个样本的小训练集。

n_train, n_test, num_inputs, batch_size = 20, 100, 200, 5
true_w, true_b = torch.ones((num_inputs, 1)) * 0.01, 0.05
train_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train)
train_iter = d2l.load_array(train_data, batch_size)
test_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_test)
test_iter = d2l.load_array(test_data, batch_size, is_train=False)

初始化模型参数

首先，我们将定义一个函数来随机初始化模型参数。

def init_params():w = torch.normal(0, 1, size=(num_inputs, 1), requires_grad=True)b = torch.zeros(1, requires_grad=True)return [w, b]

定义L2L_2L2范数惩罚

实现这一惩罚最方便的方法是对所有项求平方后并将它们求和。

def l2_penalty(w):return torch.sum(w.pow(2)) / 2

定义训练代码实现

下面的代码将模型拟合训练数据集，并在测试数据集上进行评估。从 3节以来，线性网络和平方损失没有变化，所以我们通过d2l.linreg和d2l.squared_loss导入它们。唯一的变化是损失现在包括了惩罚项。

def train(lambd):w, b = init_params()net, loss = lambda X: d2l.linreg(X, w, b), d2l.squared_lossnum_epochs, lr = 100, 0.003animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])for epoch in range(num_epochs):for X, y in train_iter:# 增加了L2范数惩罚项，# 广播机制使l2_penalty(w)成为一个长度为batch_size的向量l = loss(net(X), y) + lambd * l2_penalty(w)l.sum().backward()d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)if (epoch + 1) % 5 == 0:animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))print('w的L2范数是：', torch.norm(w).item())

忽略正则化直接训练

我们现在用lambd = 0禁用权重衰减后运行这个代码。注意，这里训练误差有了减少，但测试误差没有减少，这意味着出现了严重的过拟合。

使用权重衰减

下面，我们使用权重衰减来运行代码。注意，在这里训练误差增大，但测试误差减小。这正是我们期望从正则化中得到的效果。

train(lambd=3)

欧几里得距离就是L2L_2L2范数，就是一个向量的模长
L2L_2L2范数是指向量各元素的平方求和，然后开根号

简洁实现

由于权重衰减在神经网络优化中很常用，深度学习框架为了便于我们使用权重衰减，将权重衰减集成到优化算法中，以便与任何损失函数结合使用。此外，这种集成还有计算上的好处，允许在不增加任何额外的计算开销的情况下向算法中添加权重衰减。由于更新的权重衰减部分仅依赖于每个参数的当前值，因此优化器必须至少接触每个参数一次。

在下面的代码中，我们在实例化优化器时直接通过weight_decay指定weight decay超参数。默认情况下，PyTorch同时衰减权重和偏移。这里我们只为权重设置了weight_decay，所以偏置参数bbb不会衰减。

def train_concise(wd):net = nn.Sequential(nn.Linear(num_inputs, 1))for param in net.parameters():param.data.normal_()loss = nn.MSELoss(reduction='none')num_epochs, lr = 100, 0.003# 偏置参数没有衰减trainer = torch.optim.SGD([{"params":net[0].weight,'weight_decay': wd},{"params":net[0].bias}], lr=lr)animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])for epoch in range(num_epochs):for X, y in train_iter:trainer.zero_grad()l = loss(net(X), y)l.mean().backward()trainer.step()if (epoch + 1) % 5 == 0:animator.add(epoch + 1,(d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))print('w的L2范数：', net[0].weight.norm().item())

net[0] 指的就是nn.Sequential()里的第一个全连接层

QA

实际中权重衰减的值一般设置为多少好？
1e−2,1e−3,1e−41e^{-2},1e^{-3},1e^{-4}1e−2,1e−3,1e−4
权重衰退的效果不是很好，不要期望太大
为什么要把w往小拉？如果最优解的w就是比较大的数，那么权重衰减是不是会有反作用？
实际会有噪音，加入惩罚，使得w变小，可以减小底部震荡，更快收敛到一个靠近真实底部的位置。

通常来说噪音越大，w也会越大。