张量分解和应用（1）

注：此文章为对Tamara G.Kolda和Brett W.Bader的<Tensor Decompositions and Applications>摘抄和分析。

介绍

注：定义不敢乱翻译。

The order of a tensor is the number of dimensions, also known as ways or modes.

A colon is used to indicate all elements of a mode.

Fibers are the higher-order analogue of matrix rows and columns.
A fiber is defined by fixing every index but one.

Slices are two-dimensional sections of a tensor, defined by fixing all but two indices.

The norm of a tensor X∈RI1×I2×⋯×IN\mathcal{X} \in \mathbb{R}^{I_1\times I_2 \times \cdots \times I_N}X∈RI1×I2×⋯×IN is the square root of the sum of the squares of all its elements.
∣∣X∣∣=∑i1=1I1∑i2=1I2⋯∑iN=1INxi1i2⋯iN2||\mathcal{X}||=\sqrt{\sum\limits_{i_1=1} ^{I_1}\sum\limits_{i_2=1} ^{I_2}\cdots\sum\limits_{i_N=1} ^{I_N}x_{i_1i_2\cdots i_N}^2}∣∣X∣∣=i1=1∑I1i2=1∑I2⋯iN=1∑INxi1i2⋯iN2

The inner product of two same-sized tensors X,Y∈RI1×I2×⋯×IN\mathcal{X,Y}\in \mathbb{R}^{I_1\times I_2 \times \cdots \times I_N}X,Y∈RI1×I2×⋯×IN is the sum of the products of their entries, i.e.,
<X,Y>=∑i1=1I1∑i2=1I2⋯∑iN=1INxi1i2⋯iNyi1i2⋯iN.<\mathcal{X},\mathcal{Y}>=\sum\limits_{i_1=1} ^{I_1}\sum\limits_{i_2=1} ^{I_2}\cdots\sum\limits_{i_N=1} ^{I_N}x_{i_1i_2\cdots i_N}y_{i_1i_2\cdots i_N}.<X,Y>=i1=1∑I1i2=1∑I2⋯iN=1∑INxi1i2⋯iNyi1i2⋯iN.

秩一张量

An N-way tensor X∈RI1×I2×⋯×IN\mathcal{X} \in \mathbb{R}^{I_1\times I_2 \times \cdots \times I_N}X∈RI1×I2×⋯×IN is rank one if it can be written as the outer product of N vectors, i.e.,
X=a(1)∘a(2)∘⋯∘a(3).\mathcal{X}=a^{(1)} \circ a^{(2)} \circ\cdots \circ a^{(3)}.X=a(1)∘a(2)∘⋯∘a(3).
The symbol “∘\circ∘” represents the vector outer product.

张量对称性

对角张量

矩阵化(将一个张量转化为矩阵)

Matricization, also known as unfolding or flattening, is the process of recording the elements of an N-way array into a matrix.

张量乘法(n模态积)

矩阵的Kronecker、Khatri-Rao、和Hadamard积

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