数据库概论之无损分解

概念

无损分解指的是对关系模式分解时，原关系模型下任一合法的关系值在分解之后应能通过自然联接运算恢复起来。反之，则称为有损分解。

设R是一个关系模式，F是R上的一个依赖集，R分解为关系模式的集合p={R1(U1),R2(U2),....,Rn(Un)}。如果对于R中满足F的每一个关系r，都有r=πR1(r)⋈πR2(r)⋈..πRn(r)则称分解相对于F是无损连接分解，否则有有损连接。

怎么测试是否为无损连接

构造一个k行n列的表格，每列对应一个属性Aj（j=1,2,..n),每行对应一个模式Ri(Ui)=(i=1,2...k)的属性集合。如果Aj在Ui中，那么表格的第i行j列处添上记号aj，否则添上记号bij.
复查F的每一个函数依赖，并且修改表格中的元素，直到表格不能修改为止。

取F中函数依赖X->Y,如果表格中总有两行在X分量上相等，在Y分量上不相等，则修改Y分量的值，使这两行在Y分量上相等，有以下两种情况：
如果Y分量中有一个是aj，则另一个也变成aj
如果Y分量中没有aj，就用下标较小的bij替换另一个符号。

3.修改结束后一行全是a，则p相对于F是无损分解。

例题

设有关系模式R（U，F),其中U={A,B,C,D,E},F={A->C,B->C,C->D,{D,E}->C,{C,E}->A}。R(U,F)的一个模式分解 $\rho$ ={R1(A,D),R2(A,B),R3(B,E),R4(C,D,E),R5(A,E)}。下面用列表格法来判断是否为无损分解。

第一步，构造一个k行n列的表格，每列对应一个属性Aj（j=1,2,..n),每行对应一个模式Ri(Ui)=(i=1,2...k)的属性集合。如果Aj在Ui中，那么表格的第i行j列处添上记号aj，否则添上记号bij.

	A	B	C	D	E
{A,D}	a1	b12	b13	a4	b15
{A,B}	a1	a2	b23	b24	b25
{B,E}	b31	a2	b33	b34	a5
{C,D,E}	b41	b42	a3	a4	a5
{A,E}	a1	b52	b53	b54	a5

第二步根据F中A->C,由于第一行，第二行，第五行在A列中的值为a1相同，在C列中的值不相同，所以根据如果Y分量中没有aj，就用下标较小的bij替换另一个符号，把C列中的值都变为最小的bij，即b13,表格如下：

	A	B	C	D	E
{A,D}	a1	b12	b13	a4	b15
{A,B}	a1	a2	b13	b24	b25
{B,E}	b31	a2	b33	b34	a5
{C,D,E}	b41	b42	a3	a4	a5
{A,E}	a1	b52	b13	b54	a5

第三步根据F中B->C,由于第二行，第三行，第五行在B列中的值为a2相同，在C列中的值不相同，所以根据如果Y分量中没有aj，就用下标较小的bij替换另一个符号，把C列中的值都变为最小的bij，即b13,表格如下：

	A	B	C	D	E
{A,D}	a1	b12	b13	a4	b15
{A,B}	a1	a2	b13	b24	b25
{B,E}	b31	a2	b13	b34	a5
{C,D,E}	b41	b42	a3	a4	a5
{A,E}	a1	b52	b13	b54	a5

第四步根据F中C->D,由于第一行，第二行，第三行，第五行在B列中的值为b13相等，在D列中的值不相同，所以根据如果Y分量中有一个是aj，则另一个也变成aj，第一行中在D列的值为a4，所以第二行，第三行，第五行也要变成a4,表格如下：

	A	B	C	D	E
{A,D}	a1	b12	b13	a4	b15
{A,B}	a1	a2	b13	a4	b25
{B,E}	b31	a2	b13	a4	a5
{C,D,E}	b41	b42	a3	a4	a5
{A,E}	a1	b52	b13	a4	a5

第五步根据F中{D,E}->C,由于第三行，第四行，第五行在D列和E列中的值分别为a4和a5相等，在C列中的值不相同，所以根据如果Y分量中有一个是aj，则另一个也变成aj，第四行中在C列的值为a3，所以第三行，第五行也要变成a3,表格如下：

	A	B	C	D	E
{A,D}	a1	b12	b13	a4	b15
{A,B}	a1	a2	b13	a4	b25
{B,E}	b31	a2	a3	a4	a5
{C,D,E}	b41	b42	a3	a4	a5
{A,E}	a1	b52	a3	a4	a5

第六步根据F中{C,E}->A,由于第三行，第四行，第五行在C列和E列中的值分别为a3和a5相等，在C列中的值不相同，所以根据如果Y分量中有一个是aj，则另一个也变成aj，第六行中在A列的值为a1，所以第三行，第四行也要变成a1,表格如下：

	A	B	C	D	E
{A,D}	a1	b12	b13	a4	b15
{A,B}	a1	a2	b13	a4	b25
{B,E}	a1	a2	a3	a4	a5
{C,D,E}	a1	b42	a3	a4	a5
{A,E}	a1	b52	a3	a4	a5

到以上几步我们第三行就全部为a，所以这个模式分解是无损的。

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