逆矩阵和伴随矩阵(Inverse matrix and adjoint matrix)
定义
伴随矩阵
记为 。
余子式
A 关于第 i 行第 j 列的余子式(记作 )是去掉 A 的第 i 行第 j 列之后得到的 (n − 1)×(n − 1) 矩阵的行列式。
代数余子式
A 关于第 i 行第 j 列的代数余子式(记作 )为 。
余子矩阵
A 的余子矩阵是一个 n*n 的矩阵 C,使得其第 i 行第 j 列的元素是 A 关于第 i 行第 j 列的代数余子式。
伴随矩阵
引入以上的概念后,可以定义:矩阵 A 的伴随矩阵是 A 的余子矩阵的转置矩阵,即 。简言之,伴随矩阵就是把原来矩阵每一行的代数余子式竖着写,即 。
例子
一个 2*2 矩阵 的伴随矩阵是 。
对于 3*3 的矩阵 ,其伴随矩阵是
性质
- 当 n>2 时,
- 如果 A 是可逆,那么
逆矩阵
逆矩阵又称反矩阵。给定一个 n 阶方阵 A,若存在一个 n 阶方阵 B,使得 ,则称 A 是可逆的,逆矩阵记为 。
只有方阵才可能有逆矩阵。若方阵 A 的逆矩阵存在,则称 A 为非奇异方阵或可逆矩阵。
性质
矩阵求逆
伴随矩阵法
如果矩阵 A 可逆,则 。
,求 。
我们先求 A 的行列式。,由于只是 3 阶方阵,我们可以直接计算。
。
再写出代数余子式。
因为对应的伴随矩阵 。
初等变换法
如果矩阵 A 和 B 互逆,则 。可以构造增广矩阵,使用高斯消去法。
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