数据结构中的数学公式
文章目录
- 常见的渐进时间复杂度
- 顺序表插入操作平均情况
- 顺序表删除操作平均情况
- 顺序表按值操作平均情况
- 卡特兰数
- 对称矩阵压缩存储的首地址公式
- 按行优先 矩阵下标从1
- 按行优先 矩阵下标从0
- 下三角矩阵压缩存储的首地址公式
- 按行优先 矩阵下标从1
- 按行优先 矩阵下标从0
- 上三角矩阵压缩存储的首地址公式
- 按行优先 矩阵下标从1
- 按行优先 矩阵下标从0
- 树
- 节点数
常见的渐进时间复杂度
O(1) < O(log2\log_2log2n) < O(n) < O(nlog2\log_2log2n) < O(n2n^2n2) < O(n3n^3n3) < O(2n2^n2n) < O(n!) < O(nnn^nnn)
顺序表插入操作平均情况
- 因插入的位置有n + 1个，故插入一个元素的概率pip_ipi为 1n+1\frac{1}{n + 1}n+11
- 移动的元素范围从第i个到第n个，总共要移动(n - i + 1)个元素，将其向后移动一个单位空间
∑i=1n+1pi(n−i+1)\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1}p_i(n-i+1)i=1∑n+1pi(n−i+1) = ∑i=1n+11n+1(n−i+1)\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1}\frac{1}{n + 1}(n-i+1)i=1∑n+1n+11(n−i+1) = 1n+1∑i=1n+1(n−i+1)\frac{1}{n + 1}\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1}(n-i+1)n+11i=1∑n+1(n−i+1) = 1n+1n(n+1)2\frac{1}{n + 1}\frac{n(n+1)}{2}n+112n(n+1) = n2\frac{n}{2}2n
顺序表删除操作平均情况
- 因总元素的个数位n，故删除一个元素的概率pip_ipi为 1n\frac{1}{n}n1
- 移动的元素范围从第i + 1个到第n个(不包括要被删除的第i个元素)，总共要移动(n - (i + 1)+ 1)个元素，将其向前移动一个单位空间
∑i=1npi(n−i)\displaystyle\sum_{i=1}^{n}p_i(n-i)i=1∑npi(n−i) = ∑i=1n1n(n−i)\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n}(n-i)i=1∑nn1(n−i) = 1n∑i=1n(n−i)\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(n-i)n1i=1∑n(n−i) = 1nn(n−1)2\frac{1}{n}\frac{n(n-1)}{2}n12n(n−1) = n−12\frac{n - 1}{2}2n−1
顺序表按值操作平均情况
- 最好时，一次就查询完毕；最坏时，n次才查询完毕
- 查询次数为 1， 2， 3，⋯\cdots⋯， n-1，n；形成等差数列
∑i=1npi×i\displaystyle\sum_{i=1}^{n}p_i \times ii=1∑npi×i = ∑i=1n1n×i\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n} \times ii=1∑nn1×i = 1nn(n+1)2\frac{1}{n}\frac{n(n+1)}{2}n12n(n+1) = n+12\frac{n+1}{2}2n+1
卡特兰数
- 通过入栈的不同元素总个数计算不同出栈序列的情况的个数
1n+1C2nn\frac{1}{n+1} C_{2n}^nn+11C2nn
-如输入三个不同元素依次进栈，可以得到5个不同出栈序列的情况
对称矩阵压缩存储的首地址公式
按行优先 矩阵下标从1
- n阶矩阵，其下标范围为（1, n）
- 当 i ≥\ge≥ j 时 即在下三角区和主对角线上
- 第一行有1个，第二行有两个，第 i-1 行有 i-1 个
- 从1行到第i-1行个共有（i - 1 - 1 + 1）= （i - 1）行
- 等差公式：首项加末项乘项数除以2
- 因ai,ja_i,_jai,j在第i行上第j个，首地址需要减一，故 (j - 1 + 1 - 1) = j - 1
- L为单位空间大小，下同
- k表示为存放在一维数组第k个，下同
address(ai,ja_i,_jai,j) = address(a0,0a_0,_0a0,0) + k ×\times× L
k = (i−1)(1+i−1)2+(j−1)\frac{(i-1)(1+i-1)}{2} + (j - 1)2(i−1)(1+i−1)+(j−1) = i(i−1)2+(j−1)\frac{i(i-1)}{2} + (j - 1)2i(i−1)+(j−1)
- 应对称关系， 当 i < j 时，将i与j对调就行
k = j(j−1)2+(i−1)\frac{j(j-1)}{2} + (i - 1)2j(j−1)+(i−1)
按行优先 矩阵下标从0
- n阶矩阵，其下标范围为（0, n-1）
- 当 i ≥\ge≥ j 时 即在下三角区和主对角线上
- 第零行有1个，第一行有两个，第 i-1行有 i 个
- 从第0行到第i-1行个共有（i - 1 - 0 + 1）= i 行
- 因ai,ja_i,_jai,j在第i行上第j个，首地址需要减一，故 (j - 0 + 1 - 1) = j
address(ai,ja_i,_jai,j) = address(a0,0a_0,_0a0,0) + k ×\times× L
k = i(1+i)2+j\frac{i(1+i)}{2} + j2i(1+i)+j = i(i+1)2+j\frac{i(i+1)}{2} + j2i(i+1)+j
- 应对称关系， 当 i < j 时，将i与j对调就行
k = j(j+1)2+i\frac{j(j+1)}{2} + i2j(j+1)+i
下三角矩阵压缩存储的首地址公式
按行优先 矩阵下标从1
address(ai,ja_i,_jai,j) = address(a0,0a_0,_0a0,0) + k ×\times× L
- 当 i ≥\ge≥ j 时 即在下三角区和主对角线上
k = i(i−1)2+(j−1)\frac{i(i-1)}{2} + (j - 1)2i(i−1)+(j−1)
- 当 i < j 时 为同一常数，故在一维数组最后开辟一个单位空间，来存储常数
k = n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}2n(n+1)
按行优先 矩阵下标从0
address(ai,ja_i,_jai,j) = address(a0,0a_0,_0a0,0) + k ×\times× L
- 当 i ≥\ge≥ j 时 即在下三角区和主对角线上
k = i(i+1)2+j\frac{i(i+1)}{2} + j2i(i+1)+j
- 当 i < j 时 为同一常数，故在一维数组最后开辟一个单位空间，来存储常数
k = n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}2n(n+1)
上三角矩阵压缩存储的首地址公式
按行优先 矩阵下标从1
- n阶矩阵，其下标范围为（1, n）
- 第一行n个元素，第二行n-1个元素，第 i-1 行n-(i-1)+1个元素
- 从第1行到第i-1行，共i-1行
address(ai,ja_i,_jai,j) = address(a0,0a_0,_0a0,0) + k ×\times× L
- 当 i ≤\le≤ j 时 即在下三角区和主对角线上
k = (i−1)(2n−i+2)2+(j−i)\frac{(i-1)(2n - i + 2)}{2} + (j - i)2(i−1)(2n−i+2)+(j−i)
- 当 i > j 时 为同一常数，故在一维数组最后开辟一个单位空间，来存储常数
k = n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}2n(n+1)
按行优先 矩阵下标从0
- n阶矩阵，其下标范围为（0, n-1）
- 第零行n个元素，第一行n-1个元素，第 i-1 行(n-1)-(i-1)+1个元素
- 从第0行到第i-1行，共ii行
- 当 i ≤\le≤ j 时 即在下三角区和主对角线上
k = i(2n−i+1)2+(j−i)\frac{i(2n-i+1)}{2} + (j - i)2i(2n−i+1)+(j−i)
- 当 i > j 时 为同一常数，故在一维数组最后开辟一个单位空间，来存储常数
k = n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}2n(n+1)
树
节点数
- 树的节点数 等于 树所有度的节点之和 等于 所有节点的度数之和加一 等于 分支数加一
- 度为m的树第 i 层最多 mi−1m^{i - 1}mi−1个节点
- 高度为h的m叉树至多有mh−1m−1\frac{m^h - 1}{m - 1}m−1mh−1个节点
∑i=1nmi−1\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m^{i - 1}i=1∑nmi−1 = m0m^0m0 + m1m^1m1 + m2m^2m2 + ⋯\cdots⋯ + mn−1m^{n-1}mn−1 = m0(1−mh)1−m\frac{m^0(1 - m^h) }{1 - m}1−mm0(1−mh) = mh−1m−1\frac{m^h - 1}{m - 1}m−1mh−1
- 具有n个节点的m叉树的最小高度为[logm(n(m−1))+1\log_m{(n(m-1)) + 1}logm(n(m−1))+1] ,[]为取整符号
mh−1m−1\frac{m^h - 1}{m - 1}m−1mh−1 = n 求h
mhm^hmh = n(m-1) + 1 => logmmh\log_m^{m^h}logmmh = logm(n(m−1)+1)\log_m{(n(m-1) +1)}logm(n(m−1)+1)
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