离散数学 06.04 子群及其陪集

§6.4子群及其陪集 \color{blue}{\S 6.4 子群及其陪集}

6.4.1子群的定义 \color{blue}{6.4.1 子群的定义}

定义6.4.1.设(G,⋅)是一个群，H是G的一个子集，如果按照G中的乘法运算，H仍是一个群，则(H,⋅)叫做(G,⋅)的子群。如果G的一个子群H不等于G，即H⊂G,则(H,⋅)叫做(G,⋅)的真子群。定义6.4.1.设(G, \cdot)是一个群，H是G的一个子集，如果按照G中的乘法运算，H仍\\ 是一个群，则(H, \cdot)叫做(G, \cdot)的子群。如果G的一个子群H不等于G，即H \subset G,\\ 则(H, \cdot)叫做(G, \cdot)的真子群。
例6.4.1.所有整数按照加法做成一个群。对于任意整数m，m的所有倍数在加法下做成整数加法群的一个子群。例6.4.1.所有整数按照加法做成一个群。对于任意整数m，m的所有倍数在加法下做\\ 成整数加法群的一个子群。
例6.4.2.复数加群以实数加群、有理数加群以及整数加群为其真子群。例6.4.2.复数加群以实数加群、有理数加群以及整数加群为其真子群。
例6.4.3.所有非零复数做成的乘法群以所有非零实数做成的乘法群、所有非零有理数做成的乘法群为其真子群。例6.4.3.所有非零复数做成的乘法群以所有非零实数做成的乘法群、所有非零有理\\ 数做成的乘法群为其真子群。
例6.4.4.行列式等于1的所有n阶矩阵做成所有n阶非奇异矩阵的乘法群的一个子群。例6.4.4.行列式等于1的所有n阶矩阵做成所有n阶非奇异矩阵的乘法群的一个子群。
例6.4.5.n次交代群是n次对称群的一个真子群。例6.4.5.n次交代群是n次对称群的一个真子群。
例6.4.6.任一群G都有两个明显的子群，一个是由其单位元素组成的子群{1},称为G的单位子群;还有一个就是G的本身。这两个子群称为G的平凡子群,其余的子群(如果有的话)称为非平凡子群。例6.4.6.任一群G都有两个明显的子群，一个是由其单位元素组成的子群\lbrace 1 \rbrace,称为\\ G的单位子群;还有一个就是G的本身。这两个子群称为G的平凡子群,其余的子群(\\ 如果有的话)称为非平凡子群。
注意：G的子群H不只是一个包含在G中的群，而且H的运算必须与G的运算一样，比如m,非零实数做成的乘法群不是所有实数做成的加法群的子群。注意：G的子群H不只是一个包含在G中的群，而且H的运算必须与G的运算一样，\\ 比如m,非零实数做成的乘法群不是所有实数做成的加法群的子群。

6.4.2子群的判别条件 \color{blue}{6.4.2 子群的判别条件}

定理6.4.1.(判别条件一)：群G的一个子集H是G的一个子群的充分必要条件是:(1)若a∈H,b∈H,则ab∈H;(2)若a∈H,则a −1 ∈H;(3)H非空。定理6.4.1.(判别条件一)：群G的一个子集H是G的一个子群的充分必要条件是:\\ (1) 若a \in H, b \in H, 则ab \in H;\\ (2) 若a \in H, 则 a^{-1} \in H; \\ (3) H非空。
证明：必要性。设H是G的子群，于是按照G的乘法，H是一个群，由群的定义，H中的两个元素a,b应该可以按照G中的乘法在H内相乘，故ab∈H,即(1)成立。由群的定义要求,(3)也必然成立。现在要证(2),先证G中的单位元就是H中的单位元,设1是G中的单位元，1 ′ 是H中的单位元。取任意a∈H,则1 ′ a=a,此式在H中成立，故在G中也成立。以a −1 右乘得1 ′ (aa −1 )=aa −1 即1 ′ =1,故G中的单位元就是H中的单位元，由群的定义，对于H中的a,应有b∈H使ab=1,此式在G中也成立，以a −1 左乘得b=a −1 ,因而a −1 ∈H,即(2)成立。充分性：设(1),(2),(3)成立，由(3)H非空。由(1),H中的两个元素a,b可以在H内相乘。设a,b,c是H的任意三个元素,在G中有(ab)c=a(bc),此式在H中自然也对，即结合律成立。再证H有单位元。任取a∈H,由(2)a −1 ∈H,由(1),aa −1 ∈H,即1∈H;1在G中适合1a=a,故在H中也有此性质。最后，H中任意a有逆，因由(2),a −1 ∈H,但是G中，a −1 a=1,此式在H中也成立，故a −1 即a在H中之逆，群的条件已经全部适合，故按照G中的乘法，H是一个群，它是G的一个子群。证明：必要性。设H是G的子群，于是按照G的乘法，H是一个群，由群的定义，\\ H中的两个元素a,b应该可以按照G中的乘法在H内相乘，故ab \in H,即(1)成立。\\ 由群的定义要求,(3)也必然成立。\\ 现在要证(2),先证G中的单位元就是H中的单位元,设1是G中的单位元，1^{\prime}是H中\\ 的单位元。取任意a \in H,则1^{\prime} a = a,此式在H中成立，故在G中也成立。以a^{-1}\\ 右乘得1^{\prime}(a a^{-1}) = a a^{-1}即1^{\prime} = 1,故G中的单位元就是H中的单位元，由群的定\\ 义，对于H中的a,应有b \in H使ab = 1,此式在G中也成立，以a^{-1}左乘得b = a^{-1}\\ ,因而a^{-1} \in H,即(2)成立。\\ 充分性：设(1),(2),(3)成立，由(3)H非空。由(1),H中的两个元素a,b可以在H内\\ 相乘。设a,b,c是H的任意三个元素,在G中有(ab)c = a(bc),此式在H中自然也对，\\ 即结合律成立。再证H有单位元。任取a \in H,由(2)a ^{-1} \in H,由(1),a a^{-1} \in H,\\ 即1 \in H;1在G中适合1a = a,故在H中也有此性质。最后，H中任意a有逆，因由\\ (2),a^{-1} \in H,但是G中，a^{-1}a = 1,此式在H中也成立，故a^{-1}即a在H中之逆，\\ 群的条件已经全部适合，故按照G中的乘法，H是一个群，它是G的一个子群。
由该定理的证明可推出子群H与大群G的关系：H的单位元素就是G的单位元素，H中任一元素a在H中的逆元素也就是a在G中的逆元素。由该定理的证明可推出子群H与大群G的关系：H的单位元素就是G的单位元素，H\\ 中任一元素a在H中的逆元素也就是a在G中的逆元素。

定理6.4.2.(判别条件二)：定理6.4.1中的两个条件(1),(2)可以换成下面一个条件：(∗)若a∈H,b∈H,则ab −1 ∈H。定理6.4.2.(判别条件二)：\\ 定理6.4.1中的两个条件(1),(2)可以换成下面一个条件：\\ ( * )若a \in H, b \in H,则ab^{-1} \in H。
证明：设(1),(2)成立，往证(∗)成立。设a∈H,b∈H,由(2)，b −1 ∈H,故由(1)，ab −1 ∈H,因而(∗)成立。设(∗)成立，往证(1),(2)成立。设a∈H,由(∗)可推得,a∈H,故aa −1 ∈H,即1∈H,故1a −1 ∈H,即a −1 ∈H,因而(2)成立。设a∈H,b∈H,因为(2)已证,故b −1 ∈H。再由(∗)推知，a∈H,b −1 ∈H,故a(b −1 ) −1 ∈H,即ab∈H,故(1)成立。证明：设(1),(2)成立，往证( * )成立。设a \in H, b \in H,由(2)，\\ b^{-1} \in H,故由(1)，a b^ {-1} \in H, 因而(*)成立。\\ 设( * )成立，往证(1),(2)成立。设a \in H, 由(*)可推得, a \in H, 故a a^ {-1} \in H,\\ 即 1 \in H,故1 a^ {-1} \in H,即a^ {-1} \in H,因而(2)成立。设a \in H,b \in H,\\ 因为(2)已证,故b^ {-1} \in H。再由 ( * ) 推知，a \in H, b^ {-1} \in H,\\ 故a(b^ {-1})^ {-1} \in H,即ab \in H,故(1)成立。

定理6.4.3.(判别条件三):群G的一个有限非空子集H是G的一个子群的充分必要条件是H对G的运算是封闭的，即若a∈H,b∈H,则ab∈H。定理6.4.3.(判别条件三):\\ 群G的一个有限非空子集H是G的一个子群的充分必要条件是H对G的运算是封闭的，\\ 即若a \in H, b \in H, 则ab \in H。

6.4.3循环群 \color{blue}{6.4.3 循环群}

定理6.4.4.设a是群G的一个元素。于是a的所有幂的集合a n ,n=0,±1,±2,⋯做成G的一个子群，记为(a)。此群称为由a生成的子群。定理6.4.4.设a是群G的一个元素。于是a的所有幂的集合a^n, n = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots \\ 做成G的一个子群，记为(a)。此群称为由a生成的子群。
证明：(1)(a)非空,例如a 0 =1∈(a)。(2)任取(a)中两个元素a m ,a n ,有a m (a n ) −1 =a m a −n =a m−n ∈(a)。故由定理6.4.2，(a)做成G的一个子群。证明：(1)(a)非空,例如a^0 = 1 \in (a)。\\ (2)任取(a)中两个元素a^m, a^n,有 a^m(a^n)^{-1} = a^ma^{-n} = a^{m-n} \in (a)。\\ 故由定理6.4.2，(a)做成G的一个子群。

定义6.4.2.群G叫做一个循环群，或巡回群，如果G可以由它的某元素a生成，即有a∈G使G=(a)。于是定理6.4.4中的子群(a)称为由a生成的循环子群。定义6.4.2.群G叫做一个循环群，或巡回群，如果G可以由它的某元素a生成，\\ 即有a \in G使 G = (a)。于是定理6.4.4中的子群(a)称为由a生成的循环子群。

例6.4.7.整数加法群(Z,+)是由1生成的循环群。(nZ,+)是由n生成的循环群。例6.4.7.整数加法群(Z, +)是由1生成的循环群。(nZ, +)是由n生成的循环群。

试看群G的一个元素a所生成的循环群(a):⋯,a −2 ,a −1 ,a 0 ,a,a 2 ,⋯,其中a 0 =1(1)有两种情形:A：如果(1)中所有元素都彼此不同，则称a的周期为无穷大或0。此时，对任意两个不同的整数s与t,a s ≠a t 。B：如果(1)中出现重复的元素，即有整数s≠t使a s =a t 。不妨设s>t，于是s−t>0而a s−t =1,即有正整数m使a m =1。若n为适合a n =1的最小正整数，则称a的周期为n。试看群G的一个元素a所生成的循环群(a):\\ \cdots, a^{-2}, a^{-1}, a^0, a, a^2, \cdots, 其中a^0 = 1 \quad (1) \\ 有两种情形:\\ A：如果(1)中所有元素都彼此不同，则称a的周期为无穷大或0。\\ 此时，对任意两个不同的整数s与t,a^s \neq a^t。\\ B：如果(1)中出现重复的元素，即有整数s \neq t使 a^s = a^t。\\ 不妨设s > t，于是s - t > 0而a^{s-t} = 1,即有正整数m使a^m = 1。\\ 若n为适合a^n = 1的最小正整数，则称a的周期为n。

例6.4.8.Z n −1=0在复数域中恰有n个不同的根，称为n次单位根，它们做成一个n元的乘法交换群(U n ,∗),U n 可由任意一个本原n次单位根(即周期为n者)生成，即ξ是一个n次本原单位根，那么，任一个n次单位根都可表示成ξ的一个方幂，因此，(U n ,∗)是一个循环群，ξ是它的一个生成元。例6.4.8.Z^n-1=0在复数域中恰有n个不同的根，称为n次单位根，它们做成一个\\ n元的乘法交换群(U_n, \ast), U_n可由任意一个本原n次单位根(即周期为n者)生成，即\xi \\ 是一个n次本原单位根，那么，任一个n次单位根都可表示成\xi的一个方幂，因此，(U_n, \\ \ast)是一个循环群，\xi是它的一个生成元。
例6.4.9.在所有非0复数构成的乘法群中，1的周期为1，−1的周期为2，±i的周期为4，模数r≠1的复数z≠re iθ 的周期为无穷大。例6.4.9.在所有非0复数构成的乘法群中，1的周期为1，-1的周期为2，\pm i的周期为\\ 4，模数r \neq 1的复数z \neq r e^{i \theta}的周期为无穷大。

定理6.4.5.若群G中元素a的周期为n，则(1)1,a 2 ,a 3 ,⋯,a n−1 为n个不同元素;(2)a m =1当且仅当n|m;(n整除m)(3)a s =a t 当且仅当n|(s−t)。(n整除(s−t)) 定理6.4.5.若群G中元素a的周期为n，则\\ (1) 1, a^2, a^3, \cdots, a^{n-1}为n个不同元素;\\ (2) a^m = 1当且仅当n | m;(n整除m)\\ (3) a^s = a^t当且仅当n | (s-t)。(n整除(s-t))
证明：因为任意整数m恒可唯一地表示为m=nq+r,0≤r<n。故a m =a nq a r =(a n ) q a r =1 q a r =1=a r ;由于0≤r<n,故按周期的定义知a r =1当且仅当r=0;所以a m =1当且仅当r=0当且仅当n|m,即(2)得证。由(2)即知a s =a t 当且仅当a s−t =1当且仅当n|(s−t),即(3)得证，最后由(3)立即得(1)。证明：因为任意整数m恒可唯一地表示为m = nq + r, 0 \leq r

由定理6.4.5设a为群G的一个元素，如果a的周期为无穷大，则a生成的子群(a)是无限循环群，(a)由彼此不同的元素⋯,a −2 ,a −1 ,1,a,a 2 ,⋯组成；如果a的周期为n，则子群(a)为n元循环群，它由n个不同的元素1,a,a 2 ,a 3 ,⋯,a n−1 组成。例6.4.8中(U n ,∗)是一个n元循环群。例6.4.7中(Z,+),(nZ,+)为无限循环群。由定理6.4.5设a为群G的一个元素，如果a的周期为无穷大，则a生成的子群(a)\\ 是无限循环群，(a)由彼此不同的元素\cdots, a^{-2}, a^{-1}, 1, a, a^2, \cdots 组成；如果a\\ 的周期为n，则子群(a)为n元循环群，它由n个不同的元素1, a, a^2, a^3, \cdots, a^{n-1}\\ 组成。\\ 例6.4.8中(U_n, \ast)是一个n元循环群。例6.4.7中(Z, +),(nZ, +)为无限循环群。
在加法群中，(1)应换为a的所有倍数:⋯,−2a,−a,0,a,2a,⋯(1 ′ )当(1 ′ )中的所有元素均彼此不同时，说a的周期为无穷大或为0;否则说a的周期为n，当n为适合na=0的最小正整数时，而定理6.4.5应换为:定理6.4.5 ′ :若加法群中a的周期为n，则有(1 ′ )0,a,2a,⋯,(n−1)a为n个不同元素;(2 ′ )ma=0当且仅当n|m;(3 ′ )sa=ta当且仅当n|(s−t);而且子群(a)为n元循环加法群，它由n个不同元素0,a,2a,⋯,(n−1)a组成,若a的周期为无穷大，则子群(a)为无限循环加法群，它由(1 ′ )中所有元素组成。在加法群中，(1)应换为a的所有倍数: \cdots, -2a, -a, 0, a, 2a, \cdots (1^{\prime}) \\ 当(1^{\prime})中的所有元素均彼此不同时，说a的周期为无穷大或为0;否则说a的周期为n，\\ 当n为适合na=0的最小正整数时，而定理6.4.5应换为:\\ 定理6.4.5^{\prime}:若加法群中a的周期为n，则有\\ (1^{\prime})0, a, 2a, \cdots, (n-1)a 为n个不同元素;\\ (2^{\prime}) ma = 0当且仅当 n | m; \\ (3^{\prime}) sa = ta 当且仅当 n | (s - t); \\ 而且子群(a)为n元循环加法群，它由n个不同元素0, a, 2a, \cdots, (n-1)a组成,\\ 若a的周期为无穷大，则子群(a)为无限循环加法群，它由(1^{\prime})中所有元素组成。

循环群的生成元素未必唯一。例如(Z,+)也可看作是由−1生成的循环群;当n>2时,本原n次单位根不只一个。那么，在一个循环群中，怎样的元素才能作为生成元？循环群的生成元素未必唯一。例如(Z, +)也可看作是由-1生成的循环群;当n > 2时,\\ 本原n次单位根不只一个。那么，在一个循环群中，怎样的元素才能作为生成元？

定理6.4.6.(1)无限循环群(a)一共有两个生成元：a及a −1 。(2)n元循环群(a)中，元素a k 是(a)的生成元的充要条件是(n,k)=1(n，k互质)。所以(a)一共有φ(n)个生成元素。定理6.4.6.(1)无限循环群(a)一共有两个生成元：a及a^{-1}。\\ (2)n元循环群(a)中，元素a^k是(a)的生成元的充要条件是(n, k) = 1(n，k互质)。\\ 所以(a)一共有\varphi(n)个生成元素。
(φ(n)是一个欧拉函数，是比n小与n互质的元素的个数) (\varphi(n)是一个欧拉函数，是比n小与n互质的元素的个数)
证明：如果a k 是(a)的一个生成元，那么(a)中每个元素都可表示为a k 的方幂。特别地，a也可表示为a k 的方幂。设a=(a k ) m =a km 。(1)由(a)是无限循环群知，km=1.因此，k=±1。即，a及a −1 为无限循环群(a)的生成元。(2)如果(a)是一个n元有限群，那么a的周期为n。由定理6.4.5，n|km−1。因此，km−1=nq，km−nq=1。这说明k与n互质。另一方面，如果k与n互质，则有h和−q，使hk−qn=1,hk−1=qn,n|(kh−1),a 1 =a kh ,a=(a k ) h ,故a可表为a k 的若干次方，总之，a可表为a k 的若干次方，当且仅当k与n互质。但在0≤k<n中，共有φ(n)个k与n互质，故共有φ(n)个元素a k 也生成(a)。证明：如果a^k是(a)的一个生成元，那么(a)中每个元素都可表示为a^k的方幂。\\ 特别地，a也可表示为a^k的方幂。设a = (a^k)^m = a^{km}。\\ (1)由(a)是无限循环群知，km = 1.因此，k = \pm 1。\\ 即，a及a^{-1}为无限循环群(a)的生成元。\\ (2)如果(a)是一个n元有限群，那么a的周期为n。由定理6.4.5，n | km -1。\\ 因此，km-1 = nq，km - nq = 1。这说明k与n互质。\\ 另一方面，如果k与n互质，则有h和-q，\\ 使hk - qn = 1, hk-1 = qn, n | (kh-1), a^1 = a^{kh},a = (a^k)^h,\\ 故a可表为a^k的若干次方，\\ 总之，a可表为a^k的若干次方，当且仅当k与n互质。\\ 但在0 \leq k

例6.4.10.设ξ是一个12次本元单位根，则全部12次单位根所称的群U 12 是由ξ生成的循环群:U 12 =(ξ)={ξ k |k=0,1,2,⋯,11}。U 12 一共有φ(12)=4个生成元:ξ 1 ,ξ 5 ,ξ 7 ,ξ 11 。例6.4.10.设\xi是一个12次本元单位根，则全部12次单位根所称的群U_{12}是由\xi生成\\ 的循环群:U_{12} = (\xi) = \lbrace \xi ^k | k = 0, 1, 2, \cdots, 11 \rbrace。\\ U_{12}一共有\varphi(12) = 4个生成元:\xi^1, \xi^5, \xi^7, \xi^{11}。

6.4.4陪集 \color{blue}{6.4.4 陪集}

定义6.4.3.设G是群，H是G的子群，a,b∈G,若有h∈H,使得a=bh,则称a合同于b(右模H),记为a≡b(右 mod H) 定义6.4.3.设G是群，H是G的子群，a,b \in G,若有h \in H,使得a = bh,\\ 则称a合同于b(右模H),记为a \equiv b (右 \mathbf{\ mod \ } H)
例6.4.11.设G是三次对称群，H是由(1 2 3 )生成的子群:H={I,(1 2 3 ),(1 3 2 )}。因为由I∈H,使得(1 2 )=(1 2 )I,所以(1 2 )≡(1 2 )(右 mod H)。因为有(1 2 3 )∈H,使得(2 3 )=(1 2 )(1 2 3 )，所以(2 3 )≡(1 2 )(右 mod H)。例6.4.11.设G是三次对称群，H是由\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}生成的子群: \\ H = \lbrace I, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \rbrace。\\ 因为由I \in H, 使得\begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} I,\\ 所以 \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix}(右 \mathbf{\ mod \ } H)。\\ 因为有 \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \in H,使得 \begin{pmatrix} 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}，\\ 所以 \begin{pmatrix} 2 & 3 \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix}(右 \mathbf{\ mod \ } H)。

结论：合同关系(右模H)是一个等价关系。结论：合同关系(右模H)是一个等价关系。
证明：1)证反身性，因为对任意a∈G有1∈H,使得a=a1,所以a≡a(右 mod H)。2)证对称性，即证若a≡b(右 mod H),则b≡a(右 mod H)。由a=bh,h∈H,可以推出b=ah −1 ,而且h −1 ∈H,故b≡a(右 mod H)。3)证传递性。即证若a≡b(右 mod H),b≡c(右 mod H),则a≡c(右 mod H)。由a=bh,b=ck,h,k∈H,可得a=ckh,其中kh∈H,故a≡c(右 mod H)。既然合同关系(右模H)是一个等价关系，所以G分成了所有等价类的并集。证明：\\ 1)证反身性，因为对任意a \in G有1 \in H,\\ 使得a = a 1,所以 a \equiv a (右 \mathbf{\ mod \ } H)。\\ 2)证对称性，即证若 a \equiv b (右 \mathbf{\ mod \ } H),则 b \equiv a (右 \mathbf{\ mod \ } H)。\\ 由a = bh, h \in H,可以推出b = ah^{-1},而且h^{-1} \in H,故b \equiv a (右 \mathbf{\ mod \ } H)。\\ 3)证传递性。\\ 即证若a \equiv b (右 \mathbf{\ mod \ } H), b \equiv c (右 \mathbf{\ mod \ } H),则 a \equiv c (右 \mathbf{\ mod \ } H)。\\ 由a = bh,b = ck, h, k \in H, 可得a = ckh,其中kh \in H, 故a \equiv c (右 \mathbf{\ mod \ } H)。\\ 既然合同关系(右模 H)是一个等价关系，所以G分成了所有等价类的并集。

定义6.4.4.群G在合同关系(右模H)下的一个等价类叫做H的一个右陪集。包含a的右陪集，就是以H的所有元素右乘a所得的集合aH。可以定义a合同于b(左模H):a≡b(左 mod H)和H的左陪集。定义6.4.4.群G在合同关系(右模H)下的一个等价类叫做H的一个右陪集。\\ 包含a的右陪集，就是以H的所有元素右乘a所得的集合aH。可以定义a合\\ 同于b(左模H): a \equiv b(左 \mathbf{\ mod \ } H)和H的左陪集。
例6.4.12.设G是所有整数的加法群。H是m的所有倍数做成的子群，因为加法适合交换律，所以左右之分不存在，因而，(左 mod H)和(右 mod H)是一样的，而左右陪集也是一样的。例6.4.12.设G是所有整数的加法群。H是m的所有倍数做成的子群，因为加法适\\ 合交换律，所以左右之分不存在，因而，(左 \mathbf{\ mod \ } H)和 (右 \mathbf{\ mod \ } H)是一样的\\ ，而左右陪集也是一样的。

例6.4.13.设G是所有非零复数的乘法群，所有其|z|=1的复数z=e iθ 做成G的一个子群H。a≡b( mod H)等于说|a|=|b|。在复平面上，H相当于单位圆，H的所有陪集相当于以原点为圆心的所有同心圆。例6.4.13.设G是所有非零复数的乘法群，所有其|z| = 1的复数z = e^{i\theta}做成G的\\ 一个子群H。a \equiv b (\mathbf{\ mod \ } H)等于说|a| = |b|。在复平面上，\\ H相当于单位圆，H的所有陪集相当于以原点为圆心的所有同心圆。

例6.4.14.设G是3次对称群，H是1，(1 2)做成的子群，H有三个右陪集: 例6.4.14.设G是3次对称群，H是1，(1 \ 2)做成的子群，\\ H有三个右陪集:
{1,(1 2)},{(1 2 3),(1 3)},{(1 3 2),(2 3)}。 \lbrace 1, (1 \ 2 ) \rbrace, \lbrace (1 \ 2 \ 3), (1 \ 3) \rbrace, \lbrace (1 \ 3 \ 2), (2 \ 3) \rbrace。
H有三个左陪集: H有三个左陪集:
{1,(1 2)},{(1 2 3),(2 3)},{(1 3 2),(1 3)}。 \lbrace 1, (1 \ 2 ) \rbrace, \lbrace (1 \ 2 \ 3), (2 \ 3) \rbrace, \lbrace (1 \ 3 \ 2), (1 \ 3) \rbrace。

若G是一个有限群，求H的右陪集可以进行如下：首先，H本身是一个；任取aH而求aH又得到一个；任取bH∪aH而求bH又得到一个；如此类推，因G有限，最后必被穷尽，而G=H∪aH∪bH∪⋯。若G是一个有限群，求H的右陪集可以进行如下：首先，H本身是一个；\\ 任取aH而求aH又得到一个；任取bH \cup aH而求bH又得到一个；如此类推，\\ 因G有限，最后必被穷尽，而 G = H \cup aH \cup bH \cup \cdots。
定理6.4.7.设H是群G的有限子群，则H的任意右陪集aH的元数皆等于H的元数。定理6.4.7.设H是群G的有限子群，则H的任意右陪集aH的元数皆等于H的元数。
证明：aH={ah|h∈H},又G中有消去律:由ax=ay可以推出x=y,故H中不同元素以a左乘仍得不同的元素。因而aH的元数等于H的元数。证明：aH = \lbrace ah | h \in H\rbrace,又 G中有消去律:由ax = ay可以推出x = y,\\ 故H中不同元素以a左乘仍得不同的元素。因而aH的元数等于H的元数。

总结以下子群H在G中的右陪集的一些性质:(1)若H为G的有限子群，则|aH|=|H|。(2)H本身也是H的一个右陪集，因为H=1H,其中1为单位元素。(3)aH=H的充分必要条件是a∈H。(4)a在陪集aH中。根据这点，我们把a叫做右陪集aH的一个陪集代表。(5)对于右陪集aH中任意元素b，都有aH=bH。总结以下子群H在G中的右陪集的一些性质:\\ (1)若H为G的有限子群，则|aH| = |H|。\\ (2)H本身也是H的一个右陪集，因为H = 1H,其中1为单位元素。\\ (3)aH = H的充分必要条件是a \in H。\\ (4)a在陪集aH中。\\ 根据这点，我们把a叫做右陪集aH的一个陪集代表。\\ (5)对于右陪集aH中任意元素b，都有aH=bH。
证明：由b∈aH知，存在h∈H,使得b=aH。因此，bH=ahH=a(hH)=aH。这点说明右陪集aH中任一元素都可以取做陪集代表。从这点还可推出: 证明：由 b \in aH知，存在h \in H,使得b = aH。\\ 因此，bH = ahH = a(hH) = aH。\\ 这点说明右陪集aH中任一元素都可以取做陪集代表。从这点还可推出:
(6)aH=bH的充分必要条件是ab −1 ∈H。(7)任意两个右陪集aH和bH或者相等或者不相交。 (6)aH = bH的充分必要条件是ab^{-1} \in H。\\ (7) 任意两个右陪集aH和bH或者相等或者不相交。
证明：如果aH和bH不相交，则它们包含公共元素c，即c∈aH,且c∈bH。因此，由(5)得aH=cH,且bH=cH。故，aH=bH。若G是Abel群，则左右陪集没有区别，若G不是Abel群，则左右陪集可能有区别，也可能没有区别。证明：如果aH和bH不相交，则它们包含公共元素c，即c \in aH,且c \in bH。\\ 因此，由(5)得aH = cH,且bH = cH。故，aH = bH。若G是Abel群，则\\ 左右陪集没有区别，若G不是Abel群，则左右陪集可能有区别，也可能没有区别。

定义6.4.5.设H是群G的子群，设对G中的任意元素g，都有gH=Hg，则称H是G的正规子群。定义6.4.5.设H是群G的子群，设对G中的任意元素g，都有gH = Hg，则称H是\\ G的正规子群。
例如，“平凡”子群H={1}和G都是G的正规子群，H={1}时合同关系≡就是等于关系=;即任意两个元素都不合同，除非它俩是同一个元素。H=G时G中任意两个元素都合同，此外，由定义，Abel群的任意子群是正规子群。由定义，H是G的正规子群，必要而且只要gH=Hg对于任意g∈G,必要而且只要对于任意g∈G,gHg −1 =H,我们可以进一步证明，H是G的正规子群，必要而且只要对任意的g∈G,gHg −1 ⊆H，事实上，必要显然，只证只要，为此，设对任意g∈G,gHg −1 ⊂H此式即对任意g∈G成立,则以g −1 ∈G代g仍成立:g −1 H(g −1 ) −1 ⊂H,即g −1 Hg⊂H;以g左乘以g −1 右乘之，得Hg⊂Hg −1 ，即H=gHg −1 对任意g∈G都成立，因而H是正规子群。例如，“平凡”子群H = \lbrace 1 \rbrace和G都是G的正规子群，H = \lbrace 1 \rbrace时合同关系 \equiv 就是\\ 等于关系=;即任意两个元素都不合同，除非它俩是同一个元素。H = G时G中任意\\ 两个元素都合同，此外，由定义，Abel群的任意子群是正规子群。由定义，H是G的\\ 正规子群，必要而且只要gH = Hg对于任意g \in G,必要而且只要对于任意g \in G,\\ gHg^{-1} = H,我们可以进一步证明，H是G的正规子群，必要而且只要对任意的g \in \\ G,gHg^{-1} \subseteq H，\\ 事实上，必要显然，只证只要，为此，设对任意g \in G, gHg^{-1} \subset H\\ 此式即对任意g \in G成立,则以g^{-1} \in G代g仍成立:\\ g^{-1}H(g^{-1})^{-1} \subset H, 即g^{-1}Hg \subset H;以g左乘以g^{-1}右乘之，\\ 得Hg \subset Hg^{-1}，即H = gHg^{-1}对任意g \in G都成立，因而H是正规子群。

Lagrange定理：设G为有限群，则G的任意子群H的元数整除群G的元数。 Lagrange定理：设G为有限群，则G的任意子群H的元数整除群G的元数。
证明：设G和H的元数分别为n和r，设H有s个右陪集。但G等于所有右陪集的并集，不同的右陪集没有公共元素，而且，每个右陪集的元数(按定理6.4.7)等于H的元数r，一共是s个右陪集，故所有右陪集的并集有元数rs，它等于G的元数n:n=rs,或者说，r整除n，商为s。有限群G的元数除以H的元数所得的商，记为(G:H)，叫做H在G中的指数，H的指数也就是H的右(左)陪集的个数。证明：设G和H的元数分别为n和r，设H有s个右陪集。但G等于所有右陪集的并集，\\ 不同的右陪集没有公共元素，而且，每个右陪集的元数(按定理6.4.7)等于H的元数r，\\ 一共是s个右陪集，故所有右陪集的并集有元数rs，它等于G的元数n:n = rs,或者\\ 说，r整除n，商为s。有限群G的元数除以H的元数所得的商，记为(G:H)，叫做H\\ 在G中的指数，H的指数也就是H的右(左)陪集的个数。

从每个右陪集中选出一个元素为代表，全体代表的集合叫做一个右代表系或右代表团。设G有限而g 1 ,⋯,g s 作成一个右代表系，则g 1 H,⋯,g s H便是H的所有右陪集而G=g 1 H∪⋯∪g s H。从每个右陪集中选出一个元素为代表，全体代表的集合叫做一个右代表系或右代表\\ 团。设G有限而g_1, \cdots, g_s作成一个右代表系，则g_1H, \cdots, g_sH便是H的所有右\\ 陪集而G = g_1H \cup \cdots \cup g_sH。

定理6.4.8.设G为有限群，元数为n，对任意a∈G，有a n =1。定理6.4.8.设G为有限群，元数为n，对任意a \in G，有a^n = 1。
证明：因为G有限，a的周期必有限，否则a所生成的循环子群(a)将无限，G的元素将无穷多。令a的周期为m，则a生成一个m元循环子群(a)⊆G。按Lagrange定理，子群(a)的元素m|n,即n≡0( mod m)，因此a n =1。证明：因为G有限，a的周期必有限，否则a所生成的循环子群(a)将无限，G的元素将\\ 无穷多。令a的周期为m，则a生成一个m元循环子群(a) \subseteq G。按Lagrange定理，\\ 子群(a)的元素m | n,即n \equiv 0 (\mathbf{\ mod \ } m)，因此a^n = 1。