数值分析2019年期末复习提纲

制作：纪元

本提纲遵循CC-BY-NC-SA协议

(署名-非商业性-相同方式共享)

文章目录

考试相关
- 注意事项
- 分数划分
考试时间
第一章
- 解析解、数值解
- 精确解、近似解
- 误差来源
- 模型误差、观测误差
- 截断误差（方法误差）
- 舍入误差
- 绝对误差、相对误差：
- 有效数字（重点）
- 误差估计
- 稳定性、收敛性
- 病态问题
- 计算条件数
- 计算方法优化
第二章
- 为什么插值
- 如何插值
- 基函数、系数
- 拉格朗日插值
- 牛顿插值
- 龙格现象
- 赫尔敏特插值
- 分段线性插值
- 三次样条插值（重点）
第四章
- 数值积分
- 复合梯形、复合辛普森公式
- 科特斯公式
- 龙贝格
- 自适应积分
- 高斯求积（重要）
第五章
- 线性方程组直接解法
- LU分解（另一角度高斯消去）
- 平方根法
- 追赶法
- 范数
- 条件数
第六章
- 雅各比-高斯赛德尔
- - 雅各比(提x迭代)
  - 高斯塞德尔(代新分量迭代)
- 超松弛
第七章
- 二分法
- 不动点迭代
- 阿特金加速
- 牛顿法

考试相关

注意事项

允许携带计算器

卷面分占总成绩的70%

分数划分

单选10*2

填空10*2

判断10*1

客观5*10

考试时间

12月29日

第一章

解析解、数值解

解析解：可能等于精确解

数值解，是在特定条件下通过近似计算得出来的一个数值，而解析解为该函数的解析式。数值解就是用数值方法求出解，给出一系列对应的自变量和解。

解析解，是给出解的具体函数形式，从解的表达式中就可以算出任何对应值。比如一元二次方程求根公式。

精确解、近似解

追求满足精确度要求的近似解

误差来源

误差不避免

模型误差、观测误差

数值分析不考虑

截断误差（方法误差）

算法迭代终止产生的误差

舍入误差

计算机存储数值位数有限导致的误差，在后续计算中该误差又可能产生新误差（与算法稳定性有关）

绝对误差、相对误差：

实际情况下一般不要求计算具体值，因为精确值未知，一般要求绝对\相对误差限（知道误差的大致范围）

有效数字（重点）

考法：给数值，要求判该数值有几位有效数字（数值计算误差PPT9）推荐四舍五入法判断。

误差估计

对含有误差的数值进行加减乘除导致的误差限变化（P7常见公式）
含有误差的数值代函数导致的误差限变化P8公式

参考例题：P8-eg4

稳定性、收敛性

P10定义

理解含义

病态问题

由于问题本身不稳定，输入量的少量改变会导致结果的大幅度抖动。

计算条件数

P10公式

参考例题：数值计算误差PPT21（正反求导致误差变化）

计算方法优化

避免相近数字相减导致有效数字下降
避免分子数量级过度大于分母，导致溢出
避免“大数吃小数”（调整顺序使计算顺序由小到大）
尽量使用计算步骤较少的算法，减少舍入误差（eg：秦九韶算法）

考法：以下几种方法，从避免误差的角度来看，最合理的是哪种？

第二章

为什么插值

减少过多取样带来的成本\预测

如何插值

多项插值（计算机友好）给样本点，求值
三角插值（计算机不友好）
有理插值（计算机不友好）

基函数、系数

了解分别是什么

拉格朗日插值

P25公式
推荐先写分母，跳过Xk项，再写分子（Xk改为X）

性质：

N次对n<=N次绝对精确（多项式插值、拉格朗日插值PPT23）
因为误差为n+1阶倒数，n阶以下求导直接为0
基函数相加，值为1

牛顿插值

P31公式

优点：有继承性，改变插值点不需要重算，与插值点顺序无关（均差对称性）。
基函数：W0，W1…
系数：差商（考试时列表格计算即可）
优化：在插值点等距时可以计算差分代替差商，好处在不用计算除法 P34公式
误差估计（余项）：Rn（X）=f（X）－Ln（X）

其中余项中，柯西值不确定导致误差为一个范围。（牛顿插值PPT22）

龙格现象

并不是插值函数次数越高越好

赫尔敏特插值

本次考试不做要求

分段线性插值

特点：简单，有效，但性态不好（插值点不连续，无导数）
优化：三次赫尔敏特插值
最优化：三次样条插值

三次样条插值（重点）

P43公式

考法：非大题

注意事项：使用条件（三次样条PPT3）、边界条件（三次样条PPT7）

求解过程：三次样条PPT-16

参考例题：P45

第四章

数值积分

求积系数、求积节点、代数精度（牛顿-科特斯公式PPT7）

参考例题：（牛顿-科特斯公式PPT9）（牛顿-科特斯公式PPT10）

复合梯形、复合辛普森公式

P106公式、P107公式

参考例题：P108-eg3

科特斯公式

等距时系数固定，第八行时，由于出现负数，造成算法不稳定

要求：节点距离相等

（P104表格一二三行）

龙贝格

梯形序列，递推复用，不断二分
P110递推公式

自适应积分

不同区间使用不同步长（系数和始终为1）

高斯求积（重要）

n=1，节点=2（P122表）
代数精度：在所有机械求积公式中最高
参考例题：P123－eg10（代换变量，用表求解）

第五章

线性方程组直接解法

条件：主元全不为0
数值优化：全主元，列主元

LU分解（另一角度高斯消去）

P147步骤

考法：给一个矩阵，要求进行LU分解

平方根法

P157公式+表格

掌握使用的前提条件（对称正定）

追赶法

P160过程

考法：给三对角矩阵，要求使用追赶法分解
参考例题：P177－eg9，PPT18

范数

P162、P165定义

考法：1范数，无穷范数

条件数

P169定义

用来判断系数矩阵是否病态

第六章

雅各比-高斯赛德尔

收敛条件:P190

充分必要条件：谱半径(max特征值)<1
充分条件：范数<1

雅各比(提x迭代)

参考例题：P181

高斯塞德尔(代新分量迭代)

参考例题：P189

超松弛

收敛条件：P196

0 <松弛因子< 2
对称正定（各阶顺主子式>0）

参考例题:P195

第七章

二分法

考法：求解迭代多少次能达到要求的精度PPT10

参考例题：P214

精度到第n位，则(b-a)/2^(k+1)<=0.5*（1e-n）

不动点迭代

P216例题

收敛性判断：P216

考法：给不同迭代，判断哪些收敛

阿特金加速

了解原理P220

牛顿法

f(X)、fai(X)要分清（P223）

武汉理工大学-数值分析-2019年期末复习提纲相关推荐

武汉理工大学-并行计算-2020年期末复习指南
并行计算-2020-复习指南制作:纪元本提纲遵循CC-BY-NC-SA协议 (署名-非商业性-相同方式共享) 文章目录并行计算机系统及其结构模型存储墙互联网络网络性能指标静态互连网络动 ...
计算机网络基础与应用复习提纲,计算机网络及应用期末复习提纲
<计算机网络及应用>期末复习提纲第一章计算机网络基础知识 1. 计算机网络发展的4个阶段及每个阶段的特点. 2. 计算机网络的定义及功能:数据通信和资源共享 3. 计算机网络的二级结构: ...
计算机网络期末复习提纲（全知识点总结）
计算机网络期末复习提纲全知识点总结第一章概述 1.基本概念 - 链路,结点,协议和服务,实体和对等实体,各层PDU - C/S模式,B/S模式,P2P模式 - LAN,WAN,MAN,PAN的划分 ...
光纤通信技术期末复习提纲
文章目录光纤通信技术期末复习提纲一,第一章:绪论 1.光纤通信基本概念 2.光纤通信的主要特点 (1)优点 (2)缺点 3.光纤通信的三个低损耗窗口二.第二章:光纤光缆技术 1.光纤的结构 2. ...
信号与通信系统【期末复习提纲·绪论】
<信号与通信系统>期末复习提纲(更新ing~~) ~~以下均为绪论考点(个人理解,仅供参考)~~ 考点1:平均信息量的计算注意区分等概率和不等概率的情况,不等概率须累加求和(信息量*对应 ...
大学计算机基础考试提纲,大学计算机基础期末复习提纲.doc
"大学计算机基础"课程期末复习提纲考试时请务必带2B铅笔. 一.基础知识 1．一个完整的计算机系统由硬件系统与软件系统共同组成: 第一台计算机ENIAC1946年诞生于美国宾夕法 ...
TUT嵌入式2020年期末复习提纲
0202年天京工理学院嵌入式期末复习提纲题型占分一览: 填空题20分选择题10分判断题10分简答题20分编程题40分小题部分: 1.SPI的四颗线: 串行外设接口(SPI)是微控制器和外围IC(如 ...
【数字图像处理】期末复习提纲
[数字图像处理]期末复习提纲这是朋友圈内的学霸同学分享的,巨强!!!
数据挖掘期末复习提纲（2021.7.3）
数据挖掘期末复习提纲什么是数据挖掘 Opinion1: 数据中的知识发现(KDD) Opinion2: 是知识发现过程的一个基本步骤: 数据清理>数据集成>数据选择>数据变换> ...
计算机网络-2020年期末复习提纲-概念类
计算机网络-2020-期末复习提纲-概念类制作:彭冠淇郑霄汉(内容) 纪元(排版) 本提纲遵循CC-BY-NC-SA协议 (署名-非商业性-相同方式共享) 本提纲由讨论区答案整理而成,可能存在纰漏 ...

武汉理工大学-数值分析-2019年期末复习提纲