本篇幅是关于大部分不定积分计算的总结。

该部分内容会涉及到某些三角函数的知识，大家有空的时候去看下我之前的文章。山城门徒：高中三角函数公式推理&记忆​zhuanlan.zhihu.com

文中若有错误的地方，恳请广大"乎友、带佬"们指正；若对你的学习有帮助，请不忘点个赞(不要只收藏)或转发给你身边正在备考、学习的同学，在下表示万分感谢。

图1 分割线内容概要

★不定积分的相关概念

★常用不定积分公式

★常用不定积分计算方法

★结束语

以下内容中，重点地方和公式推理会用黑体加以呈现；部分重要说明用斜体加以区别。不定积分的相关概念

一、原函数与不定积分

设函数

定义在某区间Ⅰ上若存在可导函数

，对于该区间上任意一点都有

成立，则称

是

在区间Ⅰ上的一个原函数。

于是称

=

为

在区间Ⅰ上的不定积分，其中C为任意常数(后面不再强调)。

PS：谈到函数

的原函数和不定积分，必须指明

所在定义的区间。

二、原函数与不定积分的区别

我们通过对概念的说明去加以区别。

1.原函数：若

在区间Ⅰ上有原函数

，则

就有无限多个原函数，且任意两个原函数之间仅相差一个常数。

所以

的全体原函数所构成的集合为

2.不定积分：设

,

是

在区间Ⅰ上的原函数，虽有

=

和

=

，但

=

不一定成立，因为常数C一般是不相同的。

由此可见，二者在概念上存在较大的差异：前者是个无限集，后者是前者中的一个元素。

三、不定积分与微分的关系

口诀：先积后微，形式不变；先微后积，相差一个常数。

1.

或

(先积后微，形式不变)

2.

或

(先微后积，相差个常数)常用不定积分公式(基本积分公式)

这一板块灰常重要！！It's important↓↓↓

1-① :

(

是常数)；

1-②:

(

)，当

取

、

、-2时可得到常用的结论。图1 1-②常用结论

1-③:

;

1-④:

;

(

);

1-⑤:

;

;

;

;

1-⑥:

1-⑦:

;

;

1-⑧:

;

;

1-⑨:

(

);

(

);

1-⑩:

(

);

(

);

1-⑪:

(

);

(

);

PS:我们可以得出两个很重要的求导公式

※

※：

(

);

1-⑫:

;

;

1-⑬:

;

;

;

；

补充几个有用的：

1-⑭：

这些不定积分请大家熟悉在心，恋恋不忘，必有回响！常用不定积分计算方法

这一个板块将为大家呈现常用的计算方法，也是做题的基本依据。部分内容引用自数分、高数18讲。

一、凑微分法(第一类换元积分)

1.基本思想:

,

2.说明：当被积函数有一部分比较复杂时，我们可以通过观察把某些函数放到d的后面(放在d后面的函数会发生变化)，使得d后面的函数与前面复杂的被积函数具有相似的结构，最后运用基本积分公式将其求出(若不能求出的话则进一步运用其它方法求出)。

3.举例说明

⑴、计算：

通过观察我们发现

这部分较复杂，且

,我们发现将

进行积分后的函数与前面复杂的函数具有相似的结构(都有

),最后运用基本积分公式求出(当然这里凑微分时要凑成

，然后不定积分前乘

即可)。

解：原式

⑵、计算：

(数学分析例题)

这种类型积分比较复杂，直接给大家说明，这种不定积分凑

比较合适，最常见的方法是三角代换(第二类换元积分将会陈述)。

解：原式

(根式提个x出来，便于凑

)

(凑微分)

(根式提个3出来，使得2次项系数为1)

(分母凑完全平方)

(基本积分1-⑩)

PS:凑微分时加不加常数无影响，即

第一类换元法实质上是求复合函数导数的逆过程！

4.常见凑微分公式总结

2-①：

(

)

2-②：

(

)

2-③：

(

)

2-④：

2-⑤：

2-⑥：

2-⑦：

(

)

2-⑧：

2-⑨：

2-⑩：

2-⑪：

二、换元法(第二类换元积分)

1.基本思想:

,

2.说明:当被积函数比较复杂时，可以通过换元的方法从d后面的函数放一部分到前面来，使其更容易积分。

3.举例说明：

⑴、计算：

通过观察发现分母是

的形式，于是想到三角代换(

)。

解：令

，则

于是原式

PS:

，其中

然后画一个三角形(刚才令的

，画草图的时候对边为x，邻边为1，角度为u)图2 辅助三角形

由三角形可以得到

;

,代入上式得

下面这道题还是用刚才那一道来举例：

⑵、计算：

解:原式：

(想到:

)

(令

)

(用万能代换——

，具体内容见总结⑤)

(基本积分1-⑨)

由

可知，

，画出辅助三角形图3 辅助三角形

由三角形可以得到

根据公式

,将sinu、cosu的表达式代入上式得

4.总结常见的换元方法(部分引用18讲)

①三角函数代换——当被积函数含有以下根式时，可以用三角代换，这里a>0图4 三角代换法则

PS：某些根式

,可通过配方后恒等变形化为以下三种模型。

、

、

(比如:

)

②根式代换——当被积函数含有

、

、

等时，一般令

(有时候根号很难去掉)

例、计算

(同济教材习题4-4，NO.23)

解法一：令

,则

原式

(公式1-⑨ 、⑫)

当然，本题也可以这样来处理。

解法二：原式

令

原式

根据三角代换得，

原式

若被积函数中即含有

,又含有

的结构，令

(

为m、n的最小公倍数 )

例、计算

(同济教材习题4-4，NO.22)

解：首先观察被积函数中即含有

(2次根),又含有

(4次根)的结构，则最小公倍数为4，

于是令

(

)。

原式

(技巧)

③倒代换——在被积函数中，分母的次数比分子的次数高2次及以上时(不是所有都行得通)，可令

。

例、计算：

解：宏观的看，分母次数高于分子次数，令

。

原式

④其它代换——若被积函数中含有

、

、

、

等之类时，可以把这些函数令为t。若

、

、

与

或

作乘法时(

为x的n次多项式),优先考虑分部积分法。

例、计算：

解：令

，则

.

原式：

(分部积分法)

画一个辅助三角形(

)图5 辅助三角形

由图可知，

故原式=

⑤万能代换——

是三角函数有理式不定积分，一般令

可以将其化为有理函数的不定积分。

由

，根据万能公式得

则

例、计算：

解：令

,

原式

⑥关于三角函数的几种变换

遇到三角有理函数的不定积分，并不是所有的都要通过万能代换去处理，这里总结了部分相关结论(实质上是某些凑微分的过程换了个说法而已)。

⑴、如果

是关于cosx的奇函数，即

，则令

.

⑵、如果

是关于six的奇函数，即

，则令

.

⑶、如果

是既关于six的偶函数，又是关于cosx的偶函数，即

，则令

.

这里就⑶举个例子。

例、计算

解：很明显这是一个关于sinx、cosx的偶函数。令

原式

(这里的被积函数可以理解为是和t有关的函数，即可以等价变为t的函数从而继续进行计算)

(同时除以

)

(转化为t的被积函数)

(同时除以t²)

(凑微分)

⑦欧拉(Euler)变换

欧拉变换的也可以将含有根式的不定积分化为有理函数的积分。

⑴、当

时，令

；

⑵、当

时，令

；

⑶、当

时，令

或

例、计算：

解：作欧拉变换，令

,解得

原式

⑧对于

，

，

(

)类型，可利用积化和差来计算。

⑨对于

类型，若当m、n中有一个奇数，可拆开利用凑微分法来计算；

若m、n都是偶数，可利用倍角公式逐步求出不定积分。

⑩对于

、

类型积分，可利用分部积分法导出递推公式计算。

三、分部积分法

1.基本思想：

(更好积分)

2.口诀：反、对、幂、三、指(指、三)，谁在前，谁不动；谁在后，d进去(放在d后面)。

3.说明

①比如被积函数中出现了反函数和三角函数，根据口诀顺序就把三角函数放在d后面，其它的情况类似(若函数中出现三角函数和指数函数的情形，把谁放在d后面都可以)。

②分部积分法习惯上去用下方表格去计算表6 分部积分法表格

4.例题分析

⑴、常规型——计算：

(同济教材习题4-3，NO.17)

解：观察发现被积函数是由幂函数和三角函数组成，根据口诀把三角函数放在d后面(

)表7 常规型计算

由表格可知

原式

⑵、循环型——计算：

(同济教材习题4-3，NO.7)

解：观察发现被积函数是由指数函数和三角函数组成，根据口诀可以把三角函数或指数函数放在d后面(在这里令

)表8 循环型计算

由表格可知

由此可见，这种算法多见于指数函数和三角函数的情形

⑶、变通型——计算：

(同济教材习题4-3，NO.9)

解：观察发现被积函数是由反三角函数和幂函数组成，根据口诀把幂函数放在d后面(令

)表9 常规型计算(行不通)

这种方法似乎行不通，原因是arctanx求导后一直不为0，这里要对表格求导后的那一列作一个调配(见表10)。表10 变通型计算

由表可知

原式

PS:①该方法实质上是部分计算过程中换了种形式而已。

②重新调配的结果不影响符号变化：因为我们是将第二列作了调配，所以后面的符号按照第二列确定。

四、有理函数的积分

由于内容过多，决定单独列成一章，见下所示。TianX：有理函数不定积分计算法则——留数拆分法​zhuanlan.zhihu.com结束语

写到最后。以上内容是本人在复习的时候对付不定积分常用的方法，仅供参考。

In The End.

Thanks for your reading!