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主成分分析法是数据挖掘中常用的一种降维算法,是Pearson在1901年提出的,再后来由hotelling在1933年加以发展提出的一种多变量的统计方法，其最主要的用途在于“降维”，通过析取主成分显出的最大的个别差异,也可以用来削减回归分析和聚类分析中变量的数目，与因子分析类似。

所谓降维，就是把具有相关性的变量数目减少，用较少的变量来取代原先变量。如果原始变量互相正交，即没有相关性，则主成分分析没有效果。

对应分析（CA）是适用于分析由两个定性变量（或分类数据）形成的大型应变表的主成分分析的扩展。本文通过析取主成分来分析夫妻职业的个别差异。

夫妻职业数据

考虑以下数据，对应于一对夫妻中的职业。我们有以下的频数表

read.table(data.csv",header=TRUE)

传统上，对于这种数据，我们习惯于使用卡方检验，卡方距离，以及卡方贡献来查看数据的差异性

chisq.test(M)

马赛克图

Mosaic plot常常用来展示Categorical data(分类数据)(关于不同的数据类别，mosaic plot 强大的地方在于它能够很好的展示出2个或者多个分类型变量(categorical variable)的关系. 它也可以定义为用图像的方式展示分类型数据。

当变量是类别变量时，且数目多于三个的时候，可使用马赛克图。马赛克图中，嵌套矩阵面积正比于单元格频率，其中该频率即多维列联表中的频率。颜色和阴影可表示拟合模型的残差值。

我们可以将其结果用马赛克图来形象化。

plot(tM)

丈夫在行中，妻子在列中。重要的联系是蓝色或红色，这两种颜色分别对应于 "正 "联系（比独立情况下的联合概率高）或 "负 "联系（比独立情况下的联合概率低）。

在另一个方向

plot(M)

但结论与之前一样：对角线上有很强的蓝色数值。

换句话说，这些夫妻在职业方面是相对相似和单一的。

主成分分析和对应分析

在对应分析中，我们查看概率表，在行或列中。例如，我们可以定义行，它是概率向量

N/apply(N,1,sum)

注意到，我们可以写出

我们的线向量的重心在这里

同样，注意到 , 我们可以用矩阵的方式来写, .

L0=(t(L)-Lbar)

对于每一个点，我们都将（相对）频率作为权重进行关联，这相当于使用矩阵。为了测量两点之间的距离，我们将通过概率的倒数对欧氏距离进行加权，。两条线之间的距离是

然后我们将用这些不同的权重做主成分分析。从矩阵的角度来看

我们注意到特征向量，我们定义了主成分

对线条的前两个成分的投影，在此给出了

PCA(L0,scal=FALSE

我们的想法是将对应于行的个体进行可视化。在第二步中，我们做相同的事情，在列中

N/apply(N,2,sum))

中心：

C0=C-Cbar

主成分分析

然后我们可以做一个主成分分析

PCA(matC0

看个人的可视化。

对应分析

对应分析的奇妙之处在于，我们 "可以 "在同一平面上表示个人的两个投影。


> plot(C[,1:2])

结果如下

> afc=CA(N)

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