笔记：物化的技术进步

技术进步是资本增加型的情况
若设索洛模型的技术进步是资本增加型而不是劳动增加型。假设生产函数为Y=[AK]aL1−aY=[AK]^aL^{1-a}Y=[AK]aL1−a其中Y,A,K,LY,A,K,LY,A,K,L表示Y(t),A(t)...Y(t),A(t)...Y(t),A(t)...等。设A˙=μA,L˙/L=n\dot A=\mu A,\dot L/L=nA˙=μA,L˙/L=n。
为了分析动态学，一般可以把函数改写为YAϕL=(KAϕL)γ\frac{Y}{A^\phi L}=(\frac{K}{A^\phi L})^\gammaAϕLY=(AϕLK)γ的形式再进行分析。
为了确定ϕ\phiϕ,观察上述生产函数,分别分析LLL和AAA我们可以得到两个方程
1−a−1=−γa−ϕ=−γϕ1-a-1=-\gamma\\a-\phi=-\gamma\phi1−a−1=−γa−ϕ=−γϕ
解得γ=a,ϕ=a/(1−a)\gamma=a,\phi=a/(1-a)γ=a,ϕ=a/(1−a)
即生产函数可以写为
YAϕL=[KAϕL]a\frac{Y}{A^\phi L}=[\frac{K}{A^\phi L}]^aAϕLY=[AϕLK]a
令k=K/AϕL,y=Y/AϕLk=K/A^\phi L,y=Y/A^\phi Lk=K/AϕL,y=Y/AϕL,（其中k,yk,yk,y为k(t),y(t)k(t),y(t)k(t),y(t)的简写），上式可写为
y=k(t)ay=k(t)^ay=k(t)a
为求kkk的动态学，将k=K/AϕLk=K/A^\phi Lk=K/AϕL两边对求导
k˙=K˙AϕL−K(ϕAϕ−1A˙L+AϕL˙)A2ϕL2=K˙AϕL−KAϕL[ϕA˙A+L˙L]=K˙AϕL−k(ϕμ+n)=sy−(ϕμ+n+δ)k=ska−(ϕμ+n+δ)k\dot k=\frac{\dot KA^\phi L-K(\phi A^{\phi-1 }\dot A L+A^\phi \dot L)}{A^{2\phi}L^2}\\=\frac{\dot K}{A^\phi L}-\frac{K}{A^\phi L}[\phi \frac{\dot A}{A}+\frac{\dot L}{L}]=\frac{\dot K}{A^\phi L}-k(\phi \mu +n)\\=sy-(\phi \mu +n+\delta)k=sk^a-(\phi \mu +n+\delta)kk˙=A2ϕL2K˙AϕL−K(ϕAϕ−1A˙L+AϕL˙)=AϕLK˙−AϕLK[ϕAA˙+LL˙]=AϕLK˙−k(ϕμ+n)=sy−(ϕμ+n+δ)k=ska−(ϕμ+n+δ)k
其中倒数第二步用到了K˙=sY−δK\dot K=sY-\delta KK˙=sY−δK
物化的技术进步
设生产函数为Y=JaL1−aY=J^a L^{1-a}Y=JaL1−a,其中JJJ表示有效资本存量，J˙=sAY−δJ\dot J=sAY-\delta JJ˙=sAY−δJ。
定义I=J/AI=J/AI=J/A,那么
Y=[AI]aL1−aY=[AI]^aL^{1-a}Y=[AI]aL1−a
与上节相同，设ϕ=a/(1−a)\phi=a/(1-a)ϕ=a/(1−a),上式两边同除以AϕLA^\phi LAϕL
YAϕL=[IAϕL]a\frac{Y}{A^\phi L}=[\frac{I}{A^\phi L}]^aAϕLY=[AϕLI]a
定义y=Y/AϕL,i=I/AϕLy=Y/A^\phi L,i=I/A^\phi Ly=Y/AϕL,i=I/AϕL,上式为
y=iay=i^ay=ia
应用与上节相同的方法可以得到
i=I˙AϕL−(ϕμ+n)ii=\frac{\dot I}{A^\phi L}-(\phi \mu+n)ii=AϕLI˙−(ϕμ+n)i
为了求ϕI\phi IϕI,我们对I=J/AI=J/AI=J/A求导
I˙=J˙A−JA˙A2=J˙A−A˙AJA=sAY−δJA−μI=sY−(δ+μ)I\dot I=\frac{\dot J A-J\dot A}{A^2}=\frac{\dot J}{A}-\frac{\dot A}{A}\frac{J}{A}\\\quad\\=\frac{sAY-\delta J}{A}-\mu I=sY-(\delta+\mu )II˙=A2J˙A−JA˙=AJ˙−AA˙AJ=AsAY−δJ−μI=sY−(δ+μ)I
那么
i=I˙AϕL−(ϕμ+n)i=sY−(δ+μ)IAϕL−(ϕμ+n)i=sy−[n+δ+μ(1+ϕ)]i=sia−[n+δ+μ(1+ϕ)]ii=\frac{\dot I}{A^\phi L}-(\phi \mu+n)i=\frac{sY-(\delta+\mu )I}{A^\phi L}-(\phi \mu+n)i\\=sy-[n+\delta +\mu(1+\phi)]i=si^a-[n+\delta +\mu(1+\phi)]ii=AϕLI˙−(ϕμ+n)i=AϕLsY−(δ+μ)I−(ϕμ+n)i=sy−[n+δ+μ(1+ϕ)]i=sia−[n+δ+μ(1+ϕ)]i
平衡增长路径上sss的弹性
sss的弹性为
sy∗∂y∗∂s\frac{s}{y^*}\frac{\partial y^*}{\partial s}y∗s∂s∂y∗
所以首先要求y∗y^*y∗。在平衡增长路径上i˙=sia−[n+δ+μ(1+ϕ)]i=0\dot i=si^a-[n+\delta+\mu(1+\phi)]i=0i˙=sia−[n+δ+μ(1+ϕ)]i=0,得
i∗=[s/(n+δ+μ(1+ϕ))]1/(1−a)i^*=[s/(n+\delta+\mu(1+\phi))]^{1/(1-a)}i∗=[s/(n+δ+μ(1+ϕ))]1/(1−a)
那么
y∗=i∗a=[s/(n+δ+μ(1+ϕ))]a/(1−a)y^*={i^*}^a=[s/(n+\delta+\mu(1+\phi))]^{a/(1-a)}y∗=i∗a=[s/(n+δ+μ(1+ϕ))]a/(1−a)
为表示方便令π=n+δ+μ(1+ϕ)\pi=n+\delta+\mu(1+\phi)π=n+δ+μ(1+ϕ),对s求导得
∂y∗∂s=a1−a[sπ]a/(1−a)−11π\frac{\partial y^*}{\partial s}=\frac{a}{1-a}[\frac{s}{\pi}]^{a/(1-a)-1}\frac{1}{\pi}∂s∂y∗=1−aa[πs]a/(1−a)−1π1
两边乘以s/y∗s/y^*s/y∗就是弹性形式
sy∗∂y∗∂s=a1−a[sπ]a/(1−a)−11πs[sπ]a/(1−a)=a1−a\frac{s}{y^*}\frac{\partial y^*}{\partial s}=\frac{a}{1-a}[\frac{s}{\pi}]^{a/(1-a)-1}\frac{1}{\pi}s [\frac{s}{\pi}]^{a/(1-a)}=\frac{a}{1-a}y∗s∂s∂y∗=1−aa[πs]a/(1−a)−1π1s[πs]a/(1−a)=1−aa
收敛速度
y˙\dot yy˙在y=y˙y=\dot yy=y˙处的一阶泰勒展开式为
y˙≈∂y˙∂y∣y=y∗(y−y∗)\dot y\approx \frac{\partial \dot y}{\partial y}|_{y=y^*}(y-y^*)y˙≈∂y∂y˙∣y=y∗(y−y∗)
对y=iay=i^ay=ia求导得
y˙=aia−1i˙=aia−1[sia−(n+δ+μ(1+ϕ))i]=asi2a−1−aia[n+δ+μ(1+ϕ)]\dot y=ai^{a-1}\dot i=ai^{a-1}[si^a-(n+\delta+\mu(1+\phi))i]\\=asi^{2a-1}-ai^a[n+\delta+\mu(1+\phi)]y˙=aia−1i˙=aia−1[sia−(n+δ+μ(1+ϕ))i]=asi2a−1−aia[n+δ+μ(1+ϕ)]
上式对i求导得
∂y˙∂i=as(2a−1)i2a−2−a2ia−1[n+δ+μ(1+ϕ)]\frac{\partial \dot y}{\partial i}=as(2a-1)i^{2a-2}-a^2i^{a-1}[n+\delta+\mu(1+\phi)]∂i∂y˙=as(2a−1)i2a−2−a2ia−1[n+δ+μ(1+ϕ)]
现在求∂i/∂y\partial i/\partial y∂i/∂y,由y=iay=i^ay=ia得i=y1/ai=y^{1/a}i=y1/a
∂i∂y=y1/ay=1ay1a−1=1ai1−a\frac{\partial i}{\partial y}=\frac{y^{1/a}}{y}=\frac{1}{a}y^{\frac{1}{a}-1}=\frac{1}{a}i^{1-a}∂y∂i=yy1/a=a1ya1−1=a1i1−a
上两式相乘就可得到∂y˙/∂y\partial \dot y/\partial y∂y˙/∂y
∂y˙∂y=∂y˙∂i∂i∂y=s(2a−1)i2a−2+(1−a)−ia−1+(1−a)[n+δ+μ(1+ϕ)]=s(2a−1)ia−1−a[n+δ+μ(1+ϕ)]\frac{\partial \dot y}{\partial y}=\frac{\partial \dot y}{\partial i}\frac{\partial i}{\partial y}=s(2a-1)i^{2a-2+(1-a)}-i^{a-1+(1-a)}[n+\delta+\mu(1+\phi)]\\=s(2a-1)i^{a-1}-a[n+\delta+\mu(1+\phi)]∂y∂y˙=∂i∂y˙∂y∂i=s(2a−1)i2a−2+(1−a)−ia−1+(1−a)[n+δ+μ(1+ϕ)]=s(2a−1)ia−1−a[n+δ+μ(1+ϕ)]
将s=i1−a[n+δ+μ(1+ϕ)]s=i^{1-a}[n+\delta+\mu(1+\phi)]s=i1−a[n+δ+μ(1+ϕ)]代入上式，上式可化简为
∂y˙∂y=−(1−a)[n+δ+μ(1+ϕ)]\frac{\partial \dot y}{\partial y}=-(1-a)[n+\delta+\mu(1+\phi)]∂y∂y˙=−(1−a)[n+δ+μ(1+ϕ)]

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