非奇异矩阵的多种判断方式
基本概念:
n阶方阵A是非奇异矩阵的充要条件是A为可逆矩阵。
下面列举几种判断方式(前提条件:矩阵是个n*n的方阵):
一个矩阵非奇异当且仅当行列式不为0。
一个矩阵非奇异当且仅当其所代表的线性变换是个自同构。
一个矩阵非奇异(正定)当且仅当它的每个特征值都大于0。
一个矩阵非奇异当且仅当它的秩为n。
一个矩阵A非奇异的充要条件是n*2n阵(A,En)可经过有限次的初等变换化为(En,B)。
如果矩阵A严格对角占优,则矩阵A非奇异。
下面给出上述定理的相关证明:
定理1:一个矩阵非奇异当且仅当行列式不为0
Proof:行列式表示线性变换的缩放比和方向。若行列式为0,表示线性变换后的维度降低。若维度降低,则不为可逆矩阵。
定理2:一个矩阵非奇异当且仅当其所代表的线性变换是个自同构。
PS:自同构:对于一个集合A,A中定义一个闭合运算○,存在一个A与A之间的映射φ ,若φ为一双射,且对于A内任意元素a,b都有φ(a○b)=φ(a)○φ(b)则这个映射φ 叫做一个对于○ 来说的A的自同构(automorphism)。
Proof:线性变换可以用矩阵表示,若线性变换自同构,则表示线性映射可逆,是个双射,则所代表的矩阵是可逆的,即矩阵非奇异。
定理3:一个矩阵正定(非奇异)当且仅当它的每个特征值都大于0。
PS:正定矩阵是一类特殊的实对称矩阵,如果一个矩阵M满足对于任何非零向量z,都有zTMz> 0,那么这个矩阵是正定矩阵。
Proof:所有特征值的乘积是方阵的行列式,若每个特征值都>0,则满足定理1,矩阵非奇异。
定理4:一个矩阵非奇异当且仅当它的秩为n。
Proof:矩阵的秩表示线性变换后的空间维度。由定理1得,行列式为零意味着维度降低,因此方阵不满秩。
定理5:一个矩阵A非奇异的充要条件是n*2n阵(A,En)可经过有限次的初等变换化为(En,B)。
Proof:
故:
定理6:如果矩阵A严格对角占优,则矩阵A非奇异。
Proof:
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