智能优化算法——粒子群算法原理（附代码）

基本概念

算法实现

粒子群算法的构成要素分析

C++程序测试Sphere函数

总结

visual studio2017c++源代码

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基本概念

粒子群优化算法（particle swarm optimization，PSO）属于进化算法的一种，它源于鸟群捕食的行为研究。基本思想是通过群体中个体之间的协作和信息共享来寻找最优解。在PSO中，每个优化问题的潜在解都是搜索空间中的一只鸟，抽象为粒子，每个粒子都有一个由目标函数决定的适应值（fitness value），以及决定它们飞行的方向和距离。 PSO具有实现容易、精度高、收敛快等优点。

算法实现

　　　在我编写的程序里可以这样理解，我们需要定义基本粒子类和粒子群类，每个粒子含有固有的属性，比如速度、位置以及储存更新的变量，粒子群类似，含有个体极值、全局极值以及计算函数。

　　　假设在一个D维的目标搜索空间中，有N个粒子组成一个群落，其中第i个粒子表示为一个D维的向量，简单来说每个粒子都会对应优化问题相应的优化变量：

　　　　　　　　　　　 $X_{i}=\left ( x_{i1}, x_{i2},\cdots x_{iD}\right ) \qquad i=1,2,\cdots N$    (1)

　　　第i个粒子的飞行速度也是一个D维的向量：

　　　　　　　　　　 $%uFF36$ $%uFF36_{i}=\left ( %uFF56_{i1}, %uFF56_{i2},\cdots %uFF56_{iD}\right ) \qquad i=1,2,\cdots N$ $%uFF36_{i}=\left ( %uFF56_{i1}, %uFF56_{i2},\cdots %uFF56_{iD}\right ) \qquad i=1,2,\cdots N$ $%uFF38_{i}=\left ( x_{i1}, x_{i2},\cdots x_{iD}\right ) \qquad i=1,2,\cdots N$ $%uFF36_{i}=\left ( x_{i1}, x_{i2},\cdots x_{iD}\right ) \qquad i=1,2,\cdots N$ $V_{i}=\left ( v_{i1}, v_{i2},\cdots v_{iD}\right ) \qquad i=1,2,\cdots N$ (2)

第i个粒子迄今为止搜索到的最优 $%uFF36$ 位置称为个体极值：

$p_{best}\left ( p_{i1}, p_{i2},\cdots p_{iD}\right ) \qquad i=1,2,\cdots N$    (3)

整个粒子群迄今为止搜索到的最优位置为全局极值：

$g_{best}=\left ( p_{g1}, p_{g2},\cdots p_{gD}\right )$ (4)

个体极值与全局极值寻优时，粒子根据下式更新位置和速度：

$V_{id}^{k}=w*V_{id}^{k-1}+c_{1}r_{1}\left ( p_{id}-x_{id}^{k-1} \right )+c_{2}r_{2}\left ( p_{gd}-x_{id}^{k-1} \right )$    (5)

$x_{id}^{k}=x_{id}^{k-1}+V_{id}^{k}$ (6)

式中：w为惯性权重，非负数，调节对解空间的搜索范围，c1、c2为学习因子，也称为加速常数，r1、r2增加随机搜索性。

式（5）由三部分组成：

第一部分：惯性部分，反映了粒子的运动习惯，代表粒子有维持自己先前速度的趋势；

第二部分：自我认知，反映了粒子对自身历史经验的记忆，代表粒子有向自身最佳位置逼近的趋势；

第三部分：社会认知，反映了粒子间协同与知识共享的群体历史经验，代表粒子有向群体或领域历史最佳位置逼近的趋势。

算法实现流程图如下：

粒子群算法的构成要素分析

1.种群大小N

N过小，陷入局优的可能性很大； N过大，优化能力很好，但计算时间大幅提高，收敛速度慢。N一般取20-60，较难的问题取100-200。

2. 最大速度 $V_{m}$

作用在于维护算法的探索能力与开发能力的平衡, $V_{m}$ 较大时，增强了全局搜素能力，但粒子容易飞过目标区域，导致局部搜索能力下降。较小时，开发能力增强，但会极大地增加全局搜索的时间，容易陷入局部最优。速度取值一般为优化变量范围的10-30%。

3.权重因子w

w较大，有利于跳出局部极小点，增强粒子的勘探能力（全局搜索能力）。w较小，利于粒子的开发能力（局部搜索能力）。线性递减权重法：

$w=w_{max}-\frac{t*\left ( w_{max}-w_{min} \right )}{t_{max}}$ (7)

式中： $w_{max}$ 表示权重最大值， $w_{min}$ 表示权重最小值，t表示当前迭代步数， $t_{max}$ 表示最大迭代步数。

4.学习因子c1、c2

c1=0，“只有社会，没有自我”迅速丧失群体多样性，易陷入局优而无法跳出。c2=0，“只有自我，没有社会”完全没有信息的社会共享，导致算法收敛速度缓慢。一般、都不为0，更容易保持收敛速度和搜索效果的均衡，是较好的选择。

C++程序测试Sphere函数

$f\left ( x \right )=\sum_{i=1}^{D}x_{i}^{2}$

通过程序计算，迭代400步，用origin整理如下：

我们可以看出粒子群优化算法收敛速度非常快，在迭代100步左右就以及寻找到最优值，用时也非常少，下图为种群为20的粒子子寻优走向图。

总结

PSO算法的优点：

算法通用性强，不依赖于问题信息。

群体搜索，并具有记忆功能，保留局部个体和全局种群的最优信息，无需梯度信息。

原理结构简单，设置参数少，容易实现。

协同搜索，同时利用个体局部信息和群体全局信息指导搜索，收敛速度快。

PSO算法的缺点：

算法局部搜索能力较差，搜索精度不够高。

算法不能够绝对保证搜索到全局最优解，容易陷入局部极小解。

算法搜索性能对参数具有一定的依赖性。

visual studio2017c++源代码

pch.h头文件：

// Particle_swarm.cpp : 粒子群算法实现过程。
//开发人员：陈帅    开发日期：2019年8月4日-29日   邮箱：chenshuai0614@hrbeu.edu.cn
#ifndef PCH_H
#define PCH_H
#include <iostream>
# include <fstream>
#include <iomanip>
#include <math.h>
#include <vector>
#include<random>
#include<ctime>
//定义粒子的各种性质
using namespace std;
//产生随机小数或整数
class RandomNumber {
public:RandomNumber() {srand(time(0));    //析构函数，在对象创建时数据成员执行初始化操作}int integer(int begin, int end){return rand() % (end - begin + 1) + begin;}double decimal(double a, double b){return double(rand() % 10000) / 10000 * (b - a) + a;}
};
//定义粒子群
class pso
{
private:double c1_particle = 2.0; //c1学习因子1，自我认知double c2_particle = 2.0; //c2学习因子2，社会认知double w_max = 0.9;       //最大惯性权重因子，影响着全局搜索double w_min = 0.6;       //最小惯性权重因子，局部深度搜索能力int M_particle = 400;     //最大迭代次数，int D_particle = 2;       //搜索空间的维数也叫变量个数int  N_particle = 20;     //初始化群体的个体，N很小容易陷入局部优化,N很大优化能力很好，优化的寻优精度和运行时间
public:vector <vector <double>>x_i;     //粒子群位置vector<vector <double>>v_i;      //粒子群速度vector<vector<double>>xp_best;   //个体最优位置vector<double> xg_best;          //全局最优位置vector<double>fp_best;           //个体最优值double fg_best;                  //全局最优值double w_particle;               //权重更新vector<double>x_low = { -100 };   //优化变量下限值vector<double>x_high = { 100 };   //优化变量上限值vector<double>v_low = { -5 };     //飞行速度下限值vector<double>v_high = { 5 };     //飞行速度上限值double r1, r2;                    //r1、r2为增加随机搜索性void Initialize_fit_extremum();    //给定初始化粒子群速度和位置,计算粒子群适应度，初始化个体极值和全局极值void Optimization_iteration();//寻优迭代
};
double function(vector<double> x); //目标函数
#endif //PCH_H

Particle_swarm.cpp主函数

#include "pch.h"
RandomNumber r;       //随机数
int main()
{   clock_t startTime, endTime; //定义程序开始运行时间和结束时间startTime = clock();  //计时开始pso PSO;  //定义PSO相关参数和函数//给定初始化粒子群速度和位置,计算粒子群适应度，初始化个体极值和全局极值PSO.Initialize_fit_extremum();//进入主要循环，按照公式依次迭代，直到满足精度要求PSO.Optimization_iteration();endTime = clock();//计时结束cout << "run time:" << (double)(endTime - startTime) / CLOCKS_PER_SEC << "s" << endl;
}

pso_function.cpp源文件：

#include "pch.h"
double function(vector<double> x)
{double fx = 0;int n = size(x);//============================测试函数=============================//1.Sphere函数  变量[-100,100]  for (int i = 0; i < n; i++){fx = fx + pow(x[i], 2);}return fx;
}
void pso::Initialize_fit_extremum()
{//===================给定初始化粒子群速度和位置==========extern RandomNumber r;       //定义全局随机数xp_best.resize(N_particle, vector<double>(D_particle));xg_best.resize(D_particle);fp_best.resize(N_particle);x_i.resize(N_particle, vector<double>(D_particle));v_i.resize(N_particle, vector<double>(D_particle));for (int i = 0; i < N_particle; i++){for (int j = 0; j < D_particle; j++){x_i[i][j] = r.decimal(x_low[0], x_high[0]);    //随机初始化位置v_i[i][j] = r.decimal(v_low[0] , v_high[0] );    //随机初始化速度}}//================计算粒子群适应度，初始化个体极值和全局极值=========for (int j = 0; j < N_particle; j++){fp_best[j] = function(x_i[j]);  //先计算各个粒子的适应度xp_best[j] = x_i[j];}xg_best =x_i[0];fg_best = function(xg_best);for (int j = 1; j < N_particle ; j++){if (function(x_i[j]) < fg_best){xg_best = x_i[j];   //更新最优值对应的优化变量fg_best = function(x_i[j]);}                   //找到全局最优变量}
}
//**************************************
//粒子群寻优迭代
//*************************************
void pso::Optimization_iteration()
{extern RandomNumber r;       //定义全局随机数ofstream out1("粒子最优值走向.txt");ofstream out("粒子群算法优化结果.txt");double f;for (int k = 0; k <M_particle; k++){w_particle = w_max - k * (w_max - w_min) / M_particle;  //更新权重for (int j = 0; j < N_particle; j++){r1 = r.decimal(0, 1.0), r2 = r.decimal(0, 1.0);    //r1、r2产生随机数for (int i = 0; i < D_particle; i++){v_i[j][i] = w_particle * v_i[j][i] + c1_particle * r1*(xp_best[j][i]- x_i[j][i]) + c2_particle * r2*(xg_best[i] - x_i[j][i]);  //更新位置//速度越界处理，取边界值 if (v_i[j][i] < v_low[0]){v_i[j][i] = v_low[0];//越界更新为边界值}if (v_i[j][i] > v_high[0]){v_i[j][i] =v_high[0];//越界更新为边界值}x_i[j][i] = x_i[j][i] + v_i[j][i];   //更新速度//位置越界处理，取边界值if (x_i[j][i]< x_low[0] ){x_i[j][i] = x_low[0];//越界更新为最优值}if ( x_i[j][i] >x_high[0]){x_i[j][i] = x_high[0];//越界更新为边界值}}f = function(x_i[j]);if ( f< fp_best[j])   //个体选优{fp_best[j] = f;xp_best[j] = x_i[j];}if (fp_best[j] < fg_best)           //全局选优{xg_best = xp_best[j];fg_best = fp_best[j];}for (int i = 0; i < D_particle; i++){out1 << fixed << setw(12) << setprecision(5) << x_i[j][i];}fg_best = function(xg_best);}out1 << endl;fg_best = function(xg_best);out << k << fixed << setw(12) << setprecision(5) << fg_best << endl;}out << "最优变量:" << endl;for (int i = 0; i < D_particle; i++){out << "x" << i << "=" << fixed << setw(12) << setprecision(5) << xg_best[i] << endl;//输出最优变量}out << "最优值=" << fixed << setw(12) << setprecision(5) << fg_best << endl;out.close();out1.close();
}

源文件下载地址

https://download.csdn.net/download/weixin_41788456/11828583

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（更新于2020.05.05）

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