相控阵基础之1-波束倾斜（Beam Squint）

相控阵的概念可理解为用相位补偿的方式实现空间滤波，其基本假设之一是接收或发射信号为窄带的（带宽/载波频率<<1），当不满足该假设时，就会出现两种效应，其中之一称为波束倾斜（Beam Squint）¹²³。

波束倾斜（Beam Squint）简单说就是阵列中心频率fcf_{c}fc波束指向是所需的方向，而带宽高低端波束指向均会偏离所需方向。

假定中心频率为fcf_{c}fc，带宽为BWBWBW的信号从俯仰θ\thetaθ角入射，采用如图1所示单元间距为ddd的均匀线阵ULAULAULA接收。

ULAULAULA以中心频率fcf_{c}fc来补偿相位差，那么带宽高端fc+BW/2f_{c}+BW/2fc+BW/2，和带宽低端fc−BW/2f_{c}-BW/2fc−BW/2实际的波束指向分别由（1）式和（2）式求得。

sin⁡θhigh=fc/(fc+BW/2)⋅sin⁡θ（1）\sin \theta^{high}=f_{c} /\left(f_{c} + B W / 2\right) \cdot \sin \theta （1）sinθhigh=fc/(fc+BW/2)⋅sinθ（1）
sin⁡θlow=fc/(fc−BW/2)⋅sin⁡θ（2）\sin \theta^{low}=f_{c} /\left(f_{c} - B W / 2\right) \cdot \sin \theta （2）sinθlow=fc/(fc−BW/2)⋅sinθ（2）

图1 入射角为θ\thetaθ单元间距为ddd的均匀线阵ULAULAULA³

用相对带宽来表示，重写(1)、（2）式可以得到（3）、（4）
θhigh=sin⁡−1[1/(1+BW/2fc)⋅sin⁡θ](3)\theta^{high}=\sin ^{-1}\left[1 /\left(1 + B W / 2 f_{c}\right) \cdot \sin \theta\right] (3) θhigh=sin−1[1/(1+BW/2fc)⋅sinθ](3)
θlow=sin⁡−1[1/(1−BW/2fc)⋅sin⁡θ](4)\theta^{low}=\sin ^{-1}\left[1 /\left(1 - B W / 2 f_{c}\right) \cdot \sin \theta\right] (4) θlow=sin−1[1/(1−BW/2fc)⋅sinθ](4)
注意到（3）、（4）式有两个变量，扫描角度θ\thetaθ和相对带宽BW/2fcBW/2f_{c}BW/2fc，以此两变量可作图如图2所示。

图2 以扫描角度和相对带宽为变量的波束倾斜效应

图2的横坐标为中心频率波束指向的俯仰角，从1°扫描到40°，纵坐标为带宽边缘实际波束指向俯仰角，相对带宽从-25%以5%为步进递增到25%。

图中加粗浅蓝线表示相对带宽为0%的情况，对应窄带假设，此时是一条斜线，即实际波束指向与所需波束指向相等。

仿真的matlab代码如下：

RBW = -0.25:0.05:0.25;      %变量相对带宽
theta = (1:1:40)/90*pi/2;   %变量扫描角度
for i = 1:length(RBW)theta_ = asin(1/(1+RBW(i))*sin(theta));%求解实际指向    theta_ = theta_*90/(pi/2);%从弧度转化为角度plot(theta_);grid on; hold on;legend;
end
xlabel('中心频率波束指向俯仰角（单位°）');
ylabel('边缘频率波束指向俯仰角（单位°）');

从图2中可观察到以下几点：

扫描角度增加，相对带宽不变，波束倾斜效应加重；
相对带宽增加，扫描角度不变，波束倾斜效应加重；
扫描角度和相对带宽固定，频率低端的波束倾斜效应高于频率高端。

Sikri, Divaydeep, Bahadir Canpolat, and Cetin Altan. “Low Cost Wideband Digital Beamforming.” 23rd Ka and Broadband Communications Conference, Trieste, Italy . 2017. ↩︎
S. Jang, R. Lu, J. Jeong and M. P. Flynn, “A 1-GHz 16-Element Four-Beam True-Time-Delay Digital Beamformer,” in IEEE Journal of Solid-State Circuits, vol. 54, no. 5, pp. 1304-1314, May 2019, doi: 10.1109/JSSC.2019.2894357. ↩︎
R. L. Haupt, “Antenna Arrays in the Time Domain: An introduction to timed arrays.,” in IEEE Antennas and Propagation Magazine, vol. 59, no. 3, pp. 33-41, June 2017, doi: 10.1109/MAP.2017.2686082. ↩︎ ↩︎

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