用unity实现在线课程

GAMES103-基于物理的计算机动画入门-王华民

的作业1

链接：

课程主页https://games-cn.org/games103/

作业内容：

Angry Bunny: 使兔子模型带有刚体动画效果

参考链接：

games103,作业1（逻辑梳理）_Elsa的迷弟的博客-CSDN博客

Tips: 文章最下方附有全部源码

一，程序演示

二，公式推导

1. 定义动画中下一时刻的v与w

2. 计算冲量j

三，代码实现

一，程序演示

键盘操作：

点击“L”：发射兔子。
点击“R”：重置兔子。

二，公式推导

使用冲量法(Impulse)实现物体的刚体碰撞动画：物体的动画与两个参数，位置Position与旋转Rotation有关，而这两个参数的更新分别与线速度v与角速度w相关。冲量法的本质就是在动画计算过程中，时刻求解不断改变的v与w。

1. 定义动画中下一时刻的v与w

解释：

j表示冲量，定义如下：

假设dt无限小，所以在这段时间内的加速度a可以近似看作常量，所以可以根据牛顿第二定律F=Ma近似认为

（1.1）新线速度 $v^{^{new}}$

（1.2）新角速度 $w^{new}$

<1.2.1> 首先定义刚体绕定点转动时，刚体的动量矩L为：

i表示组成刚体的mesh的第i个顶点，进而将等式L展开，可以得到以下形式，

<1.2.2> 其中，我们将红框部分称为惯性张量 $I_{ref}$ ，同时，惯性张量可整理为：

<1.2.3> 上式1为单位矩阵。此时，我们可将动量矩L表示为：

<1.2.4> 因为力矩 $\tau$ 的物理定义为：

且动量矩L可变形为：

所以，我们可以得出结论，力矩 $\tau$ 等于动量矩L的一阶导，即：

<1.2.5> 由<1.2.3>知，

则关于角速度w的一阶导 $\bigtriangledown w$ 为：

<1.2.6> 所以，最终下一时刻的新角速度 $w^{new}$ 为：

<1.2.7> 注意最终一个细节，考虑到要将刚体的局部坐标系转到世界坐标系，所以对上式出现的所有ri左乘一个旋转矩阵，然后进行替换。

<1.2.8> 则新角速度为

这时回到开头，根据冲量J的定义，则新角速度为：

2. 计算冲量j

根据上述公式知，只要知道冲量j，就可以计算出新的 $v^{^{new}}$ 和 $w^{new}$ ，然后更新刚体的新位置和状态。

冲量j可根据假设下一时刻的新速度 $v^{^{new}}$ 已知，从而通过计算得到。

2.1 刚体上某一点的新速度 $v_{i}^{new}$ 与线速度和角速度的关系为

2.2 定义一个新的计算符号，将向量叉乘转换为向量*乘

2.3 这时，根据新旧速度差( $v_{i}^{new}$ - $v_{i}$ )，我们可以计算得到冲量j

2.4 此时，除假设的 $v_{i}^{new}$ 外，一切参数已知。而 $v_{i}^{new}$ 可通过提前设定的摩擦力系数 $\mu _{N}$ 与 $\mu _{T}$ 计算得到。

note:由公式知，冲量和当前帧与下一帧的速度差有关，所以速度差越小，冲量越小。表现在动画效果上，即兔子在碰撞多次后，速度不断减缓，并慢慢停了下来。

三，代码实现

代码逻辑结构如下，

首先寻找该帧中所有发生碰撞且未产生回弹的点，然后取这些碰撞点的平均点，参与之后计算。
计算平均碰撞点的新速度 $v_{i}^{new}$
根据已知参数，计算系数K与冲量j
更新线速度 $v^{^{new}}$ 和角速度 $w^{new}$
（最后在update（）函数中，根据LeapFrog Integration蛙跳法更新刚体新的位置position与旋转状态rotation）

脚本源码：

using UnityEngine;
using System.Collections;public class Rigid_Bunny : MonoBehaviour
{bool launched      = false;float dt            = 0.015f;Vector3 v          = new Vector3(0, 0, 0); // velocityVector3 w           = new Vector3(0, 0, 0); // angular velocityfloat mass;                                   // massMatrix4x4 I_ref;                         // reference inertiafloat linear_decay  = 0.999f;               // for velocity decayfloat angular_decay    = 0.98f;                float restitution   = 0.5f;                 // for collisionfloat restitution_T = 0.2f;                      //水平面的摩擦力（自己给定）Vector3 gravity =new Vector3(0.0f, -9.8f, 0.0f);// Use this for initializationvoid Start () {     Mesh mesh = GetComponent<MeshFilter>().mesh;Vector3[] vertices = mesh.vertices;float m = 1;mass=0;for (int i=0; i<vertices.Length; i++) {mass += m;float diag=m*vertices[i].sqrMagnitude;I_ref[0, 0]+=diag;I_ref[1, 1]+=diag;I_ref[2, 2]+=diag;I_ref[0, 0]-=m*vertices[i][0]*vertices[i][0];I_ref[0, 1]-=m*vertices[i][0]*vertices[i][1];I_ref[0, 2]-=m*vertices[i][0]*vertices[i][2];I_ref[1, 0]-=m*vertices[i][1]*vertices[i][0];I_ref[1, 1]-=m*vertices[i][1]*vertices[i][1];I_ref[1, 2]-=m*vertices[i][1]*vertices[i][2];I_ref[2, 0]-=m*vertices[i][2]*vertices[i][0];I_ref[2, 1]-=m*vertices[i][2]*vertices[i][1];I_ref[2, 2]-=m*vertices[i][2]*vertices[i][2];}I_ref [3, 3] = 1;}Matrix4x4 Get_Cross_Matrix(Vector3 a){//Get the cross product matrix of vector aMatrix4x4 A = Matrix4x4.zero;A [0, 0] = 0; A [0, 1] = -a [2]; A [0, 2] = a [1]; A [1, 0] = a [2]; A [1, 1] = 0; A [1, 2] = -a [0]; A [2, 0] = -a [1]; A [2, 1] = a [0]; A [2, 2] = 0; A [3, 3] = 1;return A;}// In this function, update v and w by the impulse due to the collision with//a plane <P, N>void Collision_Impulse(Vector3 P, Vector3 N){// 0. 检测mesh的所有点，是否与平面发生碰撞Matrix4x4 mat_R = Matrix4x4.Rotate(transform.rotation);Vector3 pos = transform.position;Mesh mesh = GetComponent<MeshFilter>().mesh;Vector3[] vertices = mesh.vertices;Vector3 avg_Collision_Point = new Vector3(0.0f, 0.0f, 0.0f); //平均碰撞点int num_Collision = 0;Vector3 ri = new Vector3(0.0f, 0.0f, 0.0f);Vector3 vi = new Vector3(0.0f, 0.0f, 0.0f);//计算在该帧中，模型一共有多少点发生了碰撞，最终取这些碰撞点的平均点参与计算for (int i = 0; i < vertices.Length; i++){//0.0 计算xi在世界坐标中的位置ri = vertices[i];Vector3 xi = pos + mat_R.MultiplyVector(ri);//0.1 计算是否发生碰撞if (Vector3.Dot((xi - P), N) >= 0.0f)continue;//0.2 计算碰撞后mesh是否已经处在回弹状态vi = v + Vector3.Cross(w, mat_R.MultiplyVector(ri));if (Vector3.Dot(vi, N) >= 0.0f)continue;avg_Collision_Point += ri;num_Collision++;}if (num_Collision == 0) //如果模型没有发生碰撞，则返回return;// 1. 如果发生碰撞，则进行模型回弹处理ri = avg_Collision_Point / num_Collision; //此时ri为模型的平均碰撞点Vector3 Rri = mat_R.MultiplyVector(ri);vi = v + Vector3.Cross(w, Rri);// 1.0 计算碰撞后的新速度 vi_newVector3 vi_N = Vector3.Dot(vi, N) * N;Vector3 vi_T = vi - vi_N;float a = Mathf.Max(1.0f - (restitution_T * (1.0f + restitution) * vi_N.magnitude / vi_T.magnitude), 0.0f);Vector3 vi_new_N = -restitution * vi_N;Vector3 vi_new_T = a * vi_T;Vector3 vi_new = vi_new_N + vi_new_T;// 1.1 计算冲量JMatrix4x4 I = mat_R * I_ref * mat_R.transpose;Matrix4x4 K_temp = Get_Cross_Matrix(Rri) * I.inverse * Get_Cross_Matrix(Rri);因为 unity没有提供matrix的加减法，所以手动计算Matrix4x4 K = Matrix4x4.zero;K[0, 0] = 1.0f / mass - K_temp[0, 0];K[0, 1] = -K_temp[0, 1];K[0, 2] = -K_temp[0, 2];K[0, 3] = -K_temp[0, 3];K[1, 0] = -K_temp[1, 0];K[1, 1] = 1.0f / mass - K_temp[1, 1];K[1, 2] = -K_temp[1, 2];K[1, 3] = -K_temp[1, 3];K[2, 0] = -K_temp[2, 0];K[2, 1] = -K_temp[2, 1];K[2, 2] = 1.0f / mass - K_temp[2, 2];K[2, 3] = -K_temp[2, 3];K[3, 0] = -K_temp[3, 0];K[3, 1] = -K_temp[3, 1];K[3, 2] = -K_temp[3, 2];K[3, 3] = 1.0f / mass - K_temp[3, 3];Vector3 J = K.inverse.MultiplyVector(vi_new - vi);//1.2 更新v and wv += 1.0f / mass * J;w += I.inverse.MultiplyVector(Vector3.Cross(Rri, J));}// Update is called once per framevoid Update(){//Game Controlif (Input.GetKey("r")){transform.position = new Vector3(0, 0.6f, 0);transform.rotation = Quaternion.Euler(0.0f, 0.0f, 0.0f);launched = false;}if (Input.GetKey("l")){v = new Vector3(5, 2, 0);w = new Vector3(0, 1, 0); // angular velocitlaunched = true;}if (launched == false)return;// Part I: Update velocities// -- linear velocityv = v + dt * gravity;v *= linear_decay;// -- angular velocityw *= angular_decay;//Part II: Collision ImpulseCollision_Impulse(new Vector3(0, 0.01f, 0), new Vector3(0, 1, 0));Collision_Impulse(new Vector3(2, 0, 0), new Vector3(-1, 0, 0));// Part III: Update position & orientation//Update linear statusVector3 x    = transform.position;x += dt * v;//Update angular statusQuaternion q = transform.rotation;Vector3 wt = 0.5f * dt * w;Quaternion dq = new Quaternion(wt.x, wt.y, wt.z, 0.0f) * q;q.Set(q.x + dq.x, q.y + dq.y, q.z + dq.z, q.w + dq.w);// Part IV: Assign to the objecttransform.position = x;transform.rotation = q;}
}

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[计算机动画]Games103-作业1-刚体动画

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2. 计算冲量j

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