史上最全的整数分解方法（包含经典的分苹果问题）
2024-04-15 10:46:24
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整数分解方法总结
一、加法分解：
题目描述：
给定一个正整数，我们可以定义出下面的公式：
N=a[1]+a[2]+a[3]+...+a[m];
a[i]>0,1<=m<=N;
对于一个正整数，求解满足上面公式的所有算式组合
对于整数4：
4 = 4；
4 = 3+1；
4 = 2+2；
4 = 2+1+1；
4 = 1+1+1+1；
1.所有可能的分解输出（有重复）
方法一：
#include <iostream>
using namespace std;
const int Size = 20;
int res_num;
// 拆分元素暂存在res数组中
int res[Size];
int a, p = 0;
// 将n进行拆分
void resolve(int n);int main() {while (1) {cin >> a;resolve(a);cout << "total num of res: " << res_num << endl;res_num = 0;}return 0;
}void resolve(int n) {if (n<=0) { // 出口cout << a << "=";for (int i=0; i<p-1; i++)cout << res[i] << "+";cout << res[p-1] << endl;res_num++;}for (int i = 1; i <= n; i++) {res[p] = i;p++; // p ++来顺序存储各个拆分元素resolve(n-i);p--; // 此行必须有，执行完这一行，下一次for循环才能回退}
}方法二：
#include <iostream>
#include <vector>using namespace std;
int counts;
void Backtrack(int n, vector<int>& comb, int cur, int sum)
{int tmpSum;for (int num = 1; num <= n; num++){comb[cur] = num;tmpSum = sum + num;if (tmpSum > n){break;//最好换成break(原来为continue),因为当tmpSum>n之后继续循环是没有意义的}else if(tmpSum == n)//第一次输出前不断地递归，进入到最里面一层，当tmpSum==n时，通过for循环//输出全1的拆分结果，随后看是一层一层退出，依次分别执行外部的for循环，使得通过num的增加，而使//拆分的最后一位数字增加（中间可能涉及前进和后退的过程，通过tmpSum<n前进，tmpSum>n回退，回退//之后num在原数值基础上继续增加，导致拆分的最后一位数字增加）回退到最外面一层for循环之后，num//增加使得输出拆分结果的第一个数字增加。{cout << n << "=";for (int i = 1; i < cur; i++)cout << comb[i] << "+";cout << comb[cur] << endl;counts++;}else{Backtrack(n, comb, cur + 1, tmpSum);}}
}
int main()
{int n;vector<int> com;while (cin >> n){com.assign(n+1, 1);Backtrack(n, com, 1, 0);cout << "The total number is: " << counts << endl;}return 0;
}结果如下：
2.输出不重复的分解结果
方法一改：
#include <iostream>
using namespace std;
const int Size = 20;
int res_num;
// 拆分元素暂存在res数组中
int res[Size];
int a, p = 0;
// 将n进行拆分
void resolve(int n, int flag);int main() {while (1) {cin >> a;resolve(a, 1);cout << "total num of res: " << res_num << endl;res_num = 0;}return 0;
}void resolve(int n, int flag) {if (n<=0) { // 出口cout << a << "=";for (int i=0; i<p-1; i++)cout << res[i] << "+";cout << res[p-1] << endl;res_num++;}for (int i = flag; i <= n; i++) {res[p] = i;p++; // p ++来顺序存储各个拆分元素resolve(n-i, i);p--; // 此行必须有，执行完这一行，下一次for循环才能回退}
}方法二改：
#include <iostream>
#include <vector>using namespace std;
void Backtrack(int n, vector<int>& comb, int cur, int sum)
{int tmpSum;for (int num = comb[cur-1]; num <= n; num++){comb[cur] = num;tmpSum = sum + num;if (tmpSum > n){break;//最好换成break(原来为continue),因为当tmpSum>n之后继续循环是没有意义的}else if(tmpSum == n)//第一次输出前不断地递归，进入到最里面一层，当tmpSum==n时，通过for循环//输出全1的拆分结果，随后看是一层一层退出，依次分别执行外部的for循环，使得通过num的增加，而使//拆分的最后一位数字增加（中间可能涉及前进和后退的过程，通过tmpSum<n前进，tmpSum>n回退，回退//之后num在原数值基础上继续增加，导致拆分的最后一位数字增加）回退到最外面一层for循环之后，num//增加使得输出拆分结果的第一个数字增加，而由for循环的初始条件num=comb[cur-1]及comb[cur]=num，//决定了每次输出的拆分结果，后面的数字不小于前一位数字。{cout << n << "=";for (int i = 1; i < cur; i++)cout << comb[i] << "+";cout << comb[cur] << endl;}else{Backtrack(n, comb, cur + 1, tmpSum);}}
}
int main()
{int n;vector<int> com;while (cin >> n){com.assign(n+1, 1);Backtrack(n, com, 1, 0);}return 0;
}
输出结果：
二、触类旁通之乘法分解：
将一个数n的分解为因子的乘积形式，输出所有可能，并输出表达式。
12=2*2*3；
12=2*6；
12=3*4；
12=6*2；
12=12*1；
代码如下：
#include<iostream>
using namespace std;int data_s[100]; // 存储因子的数组
int p=0; // 因子数组的指针
int num=0; // 记录分解因子的总数
int x; // 待分解的数// 递归函数，用于分解因子
void resolve(int n,int minNum)
{if(n<2) // 如果n小于2，说明已经分解完毕{num++; // 记录分解因子的总数cout<< x << "="; // 输出待分解的数for(int j=0;j<p;j++){cout<< data_s[j]; // 输出因子if(j!=p-1)cout << "*"; // 输出乘号if(data_s[j] == x)cout << "*1"; // 如果因子等于待分解的数，输出*1}cout << endl; // 换行return;}for(int i=minNum;i<=n;i++) // 从minNum开始枚举因子{if(n%i==0) // 如果n能够整除i，说明i是n的因子{data_s[p]=i; // 将i存储到因子数组中p++; // 指针后移resolve(n/i, i); // 递归分解n/i的因子，最小因子为ip--; // 回溯，指针前移}}
}int main()
{while(cin >> x) // 循环读入待分解的数{resolve(x, 2); // 分解因子cout<< "The total numbers is " << num << endl; // 输出分解因子的总数cout << "--------------------------" << endl; // 输出分隔符num = 0; // 重置分解因子的总数break;}return 0;}
下面的代码可以实现从小到大的顺序输出质数因子的乘积：
#include <iostream>
const int Num = 100;
using namespace std;int main()
{int data[Num],n; // 定义一个数组data和一个整数nwhile (cin >> n) // 循环读入n的值{int num = n,j = 0; // 定义一个整数num和一个计数器jfor (int i = 2; i <= n; ++i) // 从2到n遍历每个数{while (num % i == 0) // 如果num能被i整除{num /= i; // 将num除以idata[j] = i; // 将i存入数组data中j++; // 计数器加1}}for (int i = 0; i < j; ++i) // 遍历数组data{cout << data[i]; // 输出数组元素if (i != j - 1)cout << '*'; // 如果不是最后一个元素，输出乘号}cout << '=' << n << endl; // 输出等号和n的值}return 0;
}
如果需要输出所有分解组合，只需要将resolve()的第二个参数去掉即可，如下面这段代码，输出所有因子组合（有重复）：
#include<iostream>
using namespace std;int data_s[100]; // 存储因子的数组
int p=0; // 因子数组的指针
int num=0; // 记录分解因子的总数
int x; // 待分解的数// 递归函数，用于分解因子
void resolve(int n)
{if(n<2) // 如果n小于2，说明已经分解完毕{num++; // 记录分解因子的总数cout<< x << "="; // 输出待分解的数for(int j=0;j<p;j++){cout<< data_s[j]; // 输出因子if(j!=p-1)cout << "*"; // 输出乘号if(data_s[j] == x)cout << "*1"; // 如果因子等于待分解的数，输出*1}cout << endl; // 换行return;}for(int i=2;i<=n;i++) // 从minNum开始枚举因子{if(n%i==0) // 如果n能够整除i，说明i是n的因子{data_s[p]=i; // 将i存储到因子数组中p++; // 指针后移resolve(n/i); // 递归分解n/i的因子，最小因子为ip--; // 回溯，指针前移}}
}int main()
{while(cin >> x) // 循环读入待分解的数{resolve(x); // 分解因子cout<< "The total numbers is " << num << endl; // 输出分解因子的总数cout << "--------------------------" << endl; // 输出分隔符num = 0; // 重置分解因子的总数break;}return 0;}输出结果：
三、分苹果相关问题
接下来是只需要输出组合数的代码：
将要拆的数n，当作n个苹果。拆成k个数，当作k个盘子。
k > n时，多出来的盘子必定是空的，拆分情况的数量和k==n没区别。
k < n时，两种情况：
1)至少有一个空盘子，则相当于少一个盘子的情况q(n, k) = q(n, k-1)
2)没有空盘子，分配完之后相当于每个盘子里都减少一个苹果的情况q(n, k) = q(n-k, k)
两种情况合起来就是：q(n, k) = q(n, k-1) + q(n-k, k)
n的最大值为120，可以用空间换时间，用一个120*120的二维数组存储所有结果
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{int solution[121][121] = {0}; // 定义一个二维数组solution，用于存储结果for (int n = 1; n <= 120; n++) // n表示苹果的个数，从1到120遍历{for (int k = 1; k <= 120; k++) // k表示盘子的个数，从1到120遍历{if (n == 1 || k == 1) // 如果苹果个数为1或盘子个数为1，那么只有一种放法{solution[n][k] = 1;}else if (n > k) // 如果苹果个数大于盘子个数，那么可以分成两种情况{// 第一种情况：至少有一个盘子不放苹果，即f(n-k,k)// 第二种情况：每个盘子都放至少一个苹果，即f(n,k-1)solution[n][k] = solution[n-k][k] + solution[n][k-1];}else if(n == k) // 如果苹果个数等于盘子个数，那么只有一种放法{// n个苹果，k-1个盘子只是比k个盘子少了一种全1的组合，即只少了一种情况solution[n][k] = 1 + solution[n][k-1];}}}int n;while (cin >> n) // 循环读入n{cout << solution[n][n] << endl; // 输出结果}return 0;
}
本题就是先建一个二维数组用以存储数据，然后根据前面的分析填充数据，然后使用输入的值查表就可以得到结果。
补充放苹果问题：
题目描述:
把M个同样的苹果放在N个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？（用K表示）5，1，1和1，5，1 是同一种分法。
输入
每个用例包含二个整数M和N。0<=m<=10，1<=n<=10。
样例输入:
7 3
样例输出:
8
解题分析：
设f(m,n)为m个苹果，n个盘子的放法数目，则先对n作讨论，
- 当m < n：则必定有n-m个盘子永远空着，去掉它们对摆放苹果方法数目不产生影响。即 if(n>m) f(m,n) = f(m,m)
- 当m >= n:不同的放法可以分成两类：含有0的方案数，不含有0的方案数
- 含有0的方案数，即有至少一个盘子空着，即相当于 f(m,n)=f(m,n-1);
- 不含有0的方案数，即所有的盘子都有苹果，相当于可以从每个盘子中拿掉一个苹果，不影响不同放法的数目，即 f(m,n)=f(m-n,n)。
而总的放苹果的放法数目等于两者的和，即 f(m,n)=f(m,n-1)+f(m-n,n)
递归出口条件说明：
当n=1时，所有苹果都必须放在一个盘子里，所以返回1；
当m==0(没有苹果可放)时，定义为1种放法；
递归解法：
#include <iostream>
using namespace std;
int fun(int m,int n)
{if(m==0||n==1)return 1;else if(m<n)return fun(m,m);elsereturn fun(m-n,n)+fun(m,n-1);
}
int main()
{int a,b,num;while(cin >> a >> b){cout << fun(a,b) << endl;}
}//动态归划解法：
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{int solution[11][11] = {0};for (int n = 0; n <= 10; n++){for (int k = 0; k <= 10; k++){if (n == 0 || k == 1){solution[n][k] = 1;}else if (n >= k){solution[n][k] = solution[n-k][k] + solution[n][k-1];}else if(n < k){solution[n][k] = solution[n][n];} }}int n, k;while (cin >> n >> k){cout << solution[n][k] << endl;}return 0;
}问题描述：将整数N分成K个整数的和且每个数大于等于A小于等于B，求有多少种分法
#include <iostream>
using namespace std;
int Dynamics(int n, int k, int min, int max)
{ //将n分为k个整数，最小的大于等于min,最大的不超过Bif(n < min)return 0; //当剩下的比min小，则不符合要求，返回0if(n <= max && k == 1)//原来只有k==1最后一个判断条件，下面k==0也没有，//现在做这样的修改是为了处理按照要求不能分配的特殊情况return 1;if (k == 0)//在不能正确划分的情况下，防止k变为负值，提前终止！{//cout << "The value of k is " << k << endl;return 0;}int sum = 0;//sum直到最后把n划分完才会得到返回值1，否则递归过程中每段都返回0；如果划分成功，则最后就得到0+...+0+1等于1for(int t = min; t <= max; t++){sum += Dynamics(n-t, k-1, t, max);//为了避免重复，所以第三个参数用t,说明t是每次递归完成后是动态变化的}return sum;
}int main()
{int a, b, mins, maxs;while (cin >> a >> b >> mins >> maxs){cout << Dynamics(a, b, mins, maxs) << endl;//最开始函数的min由这里控制，//随后的min由函数内的for循环控制}
}问题拓展：前面的放苹果问题，如果每个盘子都不能为空，则有多少种放法？
思路，先把每个盘子都放一个苹果，这样问题就转化为：m-n个苹果放进n个盘子里，盘子允许空，即为前面的问题。
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