组合数与二项式

公式1：帕斯卡定理

(nm)=(n−1m)+(n−1m−1)\binom{n}{m} = \binom{n - 1}{m} + \binom{n-1}{m-1} (mn)=(mn−1)+(m−1n−1)

公式2：对上指标求和

∑i=1n(im)=(n+1m+1)\sum_{i=1}^n\binom{i}{m} = \binom{n+1}{m+1} i=1∑n(mi)=(m+1n+1)

证明：考虑对一个组合数进行连续帕斯卡展开，将下指标统一至mmm

(53)=(43)+(42)=(33)+(32)+(42)…\binom{5}{3} = \binom{4}{3} + \binom{4}{2} = \\ \binom{3}{3} + \binom{3}{2} + \binom{4}{2} \\ \dots (35)=(34)+(24)=(33)+(23)+(24)…

CF1548C

求∑i=1n(3ix)\sum_{i=1}^n \binom{3i}{x}∑i=1n(x3i)，构造∑i=1n(3ix)\sum_{i=1}^n \binom{3i}{x}∑i=1n(x3i)和∑i=1n(3i+1x)\sum_{i=1}^n \binom{3i+1}{x}∑i=1n(x3i+1)和∑i=1n(3i+2x)\sum_{i=1}^n \binom{3i+2}{x}∑i=1n(x3i+2)的关系：

关于xxx的递推可以使用帕斯卡定理。
关于三个和式的关系可以使用对上指标求和。
联立方程解方程。

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