高等数学常用的泰勒级数

做个高数的笔记，也顺便练一下L ^a T _e X语法。

ex=∑n=0+∞xnn!e^x=\sum^{+\infty}_{n=0}\frac{x^n}{n!} ex=n=0∑+∞n!xn
sin⁡x=∑n=0+∞(−1)n−1x2n−1(2n−1)!\sin{x}=\sum^{+\infty}_{n=0}(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} sinx=n=0∑+∞(−1)n−1(2n−1)!x2n−1
cos⁡x=∑n=0+∞(−1)nx2n(2n)!\cos{x}=\sum^{+\infty}_{n=0}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!} cosx=n=0∑+∞(−1)n(2n)!x2n
ln⁡(1+x)=∑n=1+∞(−1)n−1xnn\ln{(1+x)}=\sum^{+\infty}_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} ln(1+x)=n=1∑+∞(−1)n−1nxn
(1+x)α=∑n=0+∞Aαnn!(1+x)^\alpha=\sum^{+\infty}_{n=0}\frac{A^n_\alpha}{n!} (1+x)α=n=0∑+∞n!Aαn
11−x=∑n=0+∞xn\frac{1}{1-x}=\sum^{+\infty}_{n=0}x^n 1−x1=n=0∑+∞xn
1(1−x)2=∑n=1+∞(n−1)xn\frac{1}{(1-x)^2}=\sum^{+\infty}_{n=1}(n-1)x^n (1−x)21=n=1∑+∞(n−1)xn

每个公式对应的L ^a T _e X代码

函数	L ^a T _e X代码
exe^xex	e^x=\sum^{+\infty}_{n=0}\frac{x^n}{n!}
sin⁡x\sin{x}sinx	\sin{x}=\sum^{+\infty}_{n=0}(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}
cos⁡x\cos{x}cosx	\cos{x}=\sum^{+\infty}_{n=0}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}
ln⁡(1+x)\ln{(1+x)}ln(1+x)	\ln{(1+x)}=\sum^{+\infty}_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}
(1+x)α(1+x)^\alpha(1+x)α	(1+x)^\alpha=\sum^{+\infty}{n=0}\frac{A^n\alpha}{n!}
11−x\frac{1}{1-x}1−x1	\frac{1}{1-x}=\sum^{+\infty}_{n=0}x^n
1(1−x)2\frac{1}{(1-x)^2}(1−x)21	\frac{1}{(1-x)^2}=\sum^{+\infty}_{n=1}(n-1)x^n

最后一个的证明：

∵11−x=∑n=0+∞xn∵\frac{1}{1-x}=\sum^{+\infty}_{n=0}x^n∵1−x1=∑n=0+∞xn

且d(11−x)dx=1(1−x)2且\frac{d(\frac{1}{1-x})}{dx}=\frac{1}{(1-x)^2}且dxd(1−x1)=(1−x)21

∴1(1−x)2=d(11−x)dx=∑n=0+∞d(xn)dx∴\frac{1}{(1-x)^2}=\frac{d(\frac{1}{1-x})} {dx}=\sum^{+\infty}_{n=0}\frac{d(x^n)}{dx}∴(1−x)21=dxd(1−x1)=∑n=0+∞dxd(xn)

=∑n=0+∞nxn−1=∑n=1+∞(n−1)xn=\sum^{+\infty}_{n=0}nx^{n-1}=\sum^{+\infty}_{n=1}(n-1)x^{n}=∑n=0+∞nxn−1=∑n=1+∞(n−1)xn

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