1. DPLL简介

2. DPLL基本仿真模型

2.1 相位误差检测

2.2 环路滤波器

2.3 NCO

2.4 完整的模型

3. 代码及仿真结果

4. 小结

1. DPLL简介

DPLL(Digital PLL)的目的是使得NCO(Numerically Controlled Oscillator, 数值控制振荡器)的输出相位锁定跟踪某个参考相位信号。如下图所示为DPLL的基本模型。环路包括一个相位误差检测器、一个环路滤波器以及一个NCO。DPLL的行为特性(dynamic characteristics)主要由环路滤波器特性决定。环路滤波器的输出控制NCO的频率和相位，在环路收敛锁定后，NCO输出相位与参考信号的相位之间的误差均值趋近于零。

图 1 DPLL基本模型

常用的环路滤波器为二阶环路滤波器，可以跟踪相位（由于对相位求导会得到频率，锁定了相位自然也就消除了频率误差）。在某些特定应用中根据系统要求，也可能只使用一阶环路滤波器的话，或甚至三阶或以上的环路滤波器，但是并不常见。

2. DPLL基本仿真模型

在这个基本仿真模型中，输入信号直接就是相位信号，NCO也只生成相位信号，相位误差就是求两者的差而得。这样做是因为相位检测本身并不是DPLL内在的处理，相位误差检测在不同的应用中有不同的实现方法。这里我们只考虑DPLL本身的行为仿真，所以可以暂时撇开所有非本质的东西。

以下说明中，符号“D”表示一个时钟节拍的延迟。

2.1 相位误差检测

如上所示，本模型直接以相位信号作为输入，因此相位误差检测单纯地就是NCO生成的相位信号与输入相位信号的差，如下所示：

pe= ref_phase(n-1) - u(n-1); % phase error
pe  = 2*(mod(pe+0.5,1) - 0.5);

第2条语句表示对相位进行卷绕（wrap-around）处理，将相位值限制到[-1,1]的范围以内（参考后面NCO中的说明）。这里的乘数因子2其实没有必然性，可以与别的环路参数融合。

2.2 环路滤波器

二阶环路滤波器包含两条支路，一条是积分支路，用于跟踪频率，另一条是比例支路，用于跟踪残留相位偏差。两条支路的增益系数分别记为KI和KP（I代表Integrator, P代表Proportional），这两个参数决定了DPLL的自然频率(natural frequency)以及阻尼系数(damping factor)，关于如何确定这两个参数将在后续篇章进行介绍。这种环路滤波器也被称为Proportional + Integral or Lead-Lag filter. 它所对应的差分方程如下所示：

% Loop Filter, ‘pe’ represents phase error, coming from phase error detector
int(n) = KI*pe + int(n-1); % integrator
vtune(n) = int(n) + KL*pe; % loop filter output

图 2 环路滤波器

2.3 NCO

NCO（数值控制振荡器：Numerically Controlled Oscillator）用于生成正弦波输出，或者单纯地输出相位信息，如下图所示。在本仿真中，只需要输出归一化相位。

如图所示，NCO其实就是一个相位积分器（在离散系统中也称为累加器：accumulator）。积分器的输入包含两部分信息：

“Fnco*Ts”表示NCO的基本振荡频率。
Vtune，这个名字中的V借自于其模拟表亲“压控振荡器VCO”（当然，这只是一个名字而已。表示它类似于或者说对应于VCO的电压输入）。来自于前级的环路滤波器输出。表示基于环路滤波器的输出信号对NCO在每一个time-step的相位增量的（相对于基准频率Fnco）的调节量。“Knco”只是一个用于提高模型调节灵活的增益参数（也可以被吸收到环路滤波器参数中去）。

“Phase wrap-around”，顾名思义，相位卷绕处理。因为相位（或者说正弦波）的周期为2*pi，所以需要把相位卷绕到长度为2*pi的区间内，可以是[0,2*pi]，也可以是[-pi, pi]，视实现方便而定。在本模型中，进一步可以归一化到[0,1]，也可以是[-1/2, 1/2]，这个也仅仅是为了实现方便而已，没有必然性。

图 3 NCO model

以上NCO模型可以用时域差分方程表示如下：

    x    = fnco*Ts + u(n-1) + vtune(n-1)*Knco; % cycles NCO phaseu(n) = mod(x,1); % cycles NCO phase mod 1y(n) = sin(2*pi*u(n-1)); % NCO sine output

2.4 完整的模型

将相位误差检测、环路滤波器和NCO组装到一起即得到了我们的基本仿真模型，如下图所示：

图 4 DPLL时域仿真模型模块框图

3. 代码及仿真结果

在以下仿真中，我们给定的输入信号是一个采样率25MHz、频率为3.75MHz的正弦波的相位。考虑NCO的初始振荡频率Fnco相比以上频率有100ppm的偏差：

fnco  = fref*(1 + 100*1e-6);

仿真的目的是要看经过DPLL的调节后最终NCO输出的正弦波信号的频率是不是与输入信号的频率相一致，进一步，其瞬时相位与输入相位是否“一致”，毕竟DPLL的目的是相位锁定，而不仅仅是频率锁定。

clc; clear; close all;
format long;
format compact;N    = 20000; % number of samples
fref = 3.75e6;   % Hz freq of ref signal
fs   = 25e6;  % Hz sample rate
Ts   = 1/fs;  % s sample timen    = 0:N-1; % time index
t    = n*Ts*1000; % msref_phase  = fref*n*Ts + 0.7; % cycles phase of reference signal with random initial phase
ref_phase  = mod(ref_phase,1); % cycles phase mod 1, normalized radian
ref_signal = sin(2*pi*ref_phase);Knco  = 1/4096; % NCO gain constant
KI    = 0.0032; % looop filter integrator gain
KL    = 5.1; % loop filter linear (proportional) gainfnco  = fref*(1 + 100*1e-6); % Hz NCO initial frequency, with 100-ppm initial frequency error
u     = zeros(1,N);
int   = zeros(1,N);
perr_buf = zeros(1,N);
vtune    = zeros(1,N);% compute difference equations in an explicit loop
for n= 2:Nif mod(n,round(N/10)) == 0fprintf(1,'n = %d\n', n);end% NCOx    = fnco*Ts + u(n-1) + vtune(n-1)*Knco; % cycles NCO phaseu(n) = mod(x,1); % cycles NCO phase mod 1y(n) = sin(2*pi*u(n-1)); % NCO sine output% Phase Detectorif(1)pe= ref_phase(n-1) - u(n-1); % phase errorelse % Seems that this one matches with Figure9. But maybe it doesn't matter(?)pe= ref_phase(n) - u(n); % phase errorendpe  = 2*(mod(pe+0.5,1) - 0.5); % wrap if phase crosses +/- 1/2 cycleperr_buf(n) = pe;% Loop Filterint(n) = KI*pe + int(n-1); % integratorvtune(n) = int(n) + KL*pe; % loop filter output
endfigure;
subplot(2,1,1); plot(t,perr_buf),grid,axis([0 0.5 -1 1]);
xlabel('t (ms)'),ylabel('phase error'); title('phase error');subplot(2,1,2); plot(t,vtune),grid,axis([0 0.5 -3.5 1]);
xlabel('t (ms)'),ylabel('vtune');
title('vtune: loop filter output');% figure; plot(u(:)); title('NCO output');figure;
pwelch(y(10000:end),2048,512,2048,fs); hold on; % Take the stable output for frequency analysis
pwelch(ref_signal,2048,512,2048,fs);
legend('spectrum of the generate sin wave', 'spectrum of the reference input');

图 5 相位跟踪结果示意图

图 6 输入输出频谱对比

如以上两图所示，相位误差检测器的输出最终收敛于0，表明NCO输出相位很好地跟住了输入相位，实现了相位锁定。自然地，输出信号频率也与输入信号会保持一致，这一点输入输出信号频谱对比图中也可以看出来。

4. 小结

以上是一个最基本的DPLL的仿真。

进一步，将结合分析或仿真来探讨DPLL的参数设计，针对不同的应用需求如何设计参数能够获得最佳性能。

此外，以上模型只是让NCO生成了输入正弦波信号的一个复制品（replica）。如果只能做这个的话，就没有什么意思了，直接使用输入信号就好了。当然不是这样的。接下来将讨论DPLL的几种不同的实际应用，它们的核心与本文所介绍的模型相一致，只不过为了迎合不同的应用需求要在基本模型的基础上加一些“调味品”。

参考文献：

[1] Digital PLL's -- Part 1 - Neil Robertson (dsprelated.com)

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4. 小结

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