中国剩余定理

例题

已知以下 n n n同余方程（所有 m i m_i mi互质）：
x ≡ a 1 ( m o d m 1 ) x≡a_1(\mod m_1) x≡a1(modm1)
x ≡ a 2 ( m o d m 2 ) x≡a_2(\mod m_2) x≡a2(modm2)
x ≡ a 3 ( m o d m 3 ) x≡a_3(\mod m_3) x≡a3(modm3)
……
x ≡ a n ( m o d m n ) x≡a_n(\mod m_n) x≡an(modmn)
求最小的 x x x.

样例

n = 3 n=3 n=3
x ≡ 1 ( m o d 3 ) x≡1(\mod 3) x≡1(mod3)
x ≡ 2 ( m o d 5 ) x≡2(\mod 5) x≡2(mod5)
x ≡ 3 ( m o d 7 ) x≡3(\mod 7) x≡3(mod7)

朴素解法

先找出符合第一条的最小的 x x x，
那么 x = 4 x=4 x=4.
再看使它符合第二条，同时保证第一条成立，每次加上 3 3 3，
x = 7 x=7 x=7时，成立，
还要使它满足第三条，同时保证前两条成立，每次加上 g c d ( 3 , 5 ) = 15 gcd(3,5)=15 gcd(3,5)=15，
x = 52 x=52 x=52时，成立，
所以最终答案就是 x = 52 x=52 x=52。
这样做非常慢，如果式子太多效率是非常低的。

中国剩余定理

先令 M = Π m i M=\Pi{m_i} M=Πmi， c i = M m i c_i=\frac{M}{m_i} ci=miM， c i − 1 c_i^{-1} ci−1表示 c i c_i ci在模 m i m_i mi意义下的乘法逆元，
则答案 A n s = ∑ a i ∗ c i ∗ c i − 1 m o d M Ans=\sum a_i*c_i*c_i^{-1} \mod M Ans=∑ai∗ci∗ci−1modM

证明

只需要证明方程组中每条式子成立即可，
也就是说，证明任意一个 i i i，有 A n s ≡ a i ( m o d m i ) Ans≡a_i(\mod m_i) Ans≡ai(modmi)
当 i ≠ j i\neq j i=j时，有 c i m o d m j = 0 c_i\mod m_j=0 cimodmj=0，
所以 A n s ≡ ∑ a j ∗ c j ∗ c j − 1 ≡ a i ∗ c i ∗ c i − 1 ≡ a i ( m o d m i ) Ans≡\sum a_j*c_j*c_j^{-1} ≡a_i*c_i*c_i^{-1}≡a_i(\mod m_i) Ans≡∑aj∗cj∗cj−1≡ai∗ci∗ci−1≡ai(modmi)
即该定理成立。

扩展中国剩余定理

例题

已知以下 n n n同余方程（所有 m i m_i mi互质的条件不存在了）：
x ≡ a 1 ( m o d m 1 ) x≡a_1(\mod m_1) x≡a1(modm1)
x ≡ a 2 ( m o d m 2 ) x≡a_2(\mod m_2) x≡a2(modm2)
x ≡ a 3 ( m o d m 3 ) x≡a_3(\mod m_3) x≡a3(modm3)
……
x ≡ a n ( m o d m n ) x≡a_n(\mod m_n) x≡an(modmn)
求最小的 x x x.

分析

朴素解法仍然适用。
但如果用中国剩余定理的话，不保证互质的情况下，乘法逆元无法求得，
此时需要用别的方法。

扩展中国剩余定理

这里直接用一般的形式来讲解。
先使前两条式子成立，
x ≡ a 1 ( m o d m 1 ) x≡a_1(\mod m_1) x≡a1(modm1)
x ≡ a 2 ( m o d m 2 ) x≡a_2(\mod m_2) x≡a2(modm2)
可以变形为：
x = m 1 ∗ y 1 + a 1 x=m_1*y_1+a_1 x=m1∗y1+a1
x = m 2 ∗ y 2 + a 2 x=m_2*y_2+a_2 x=m2∗y2+a2
则 m 1 ∗ y 1 + a 1 = m 2 ∗ y 2 + a 2 m_1*y_1+a_1=m_2*y_2+a_2 m1∗y1+a1=m2∗y2+a2
变形得到 m 1 ∗ y 1 − m 2 ∗ y 2 = a 2 − a 1 m_1*y_1-m_2*y_2=a_2-a_1 m1∗y1−m2∗y2=a2−a1
式子中的 y 1 y_1 y1和 y 2 y_2 y2是未知的，显然可以用扩展欧几里德来求解！
当然要判断 g c d ( m 1 , m 2 ) gcd(m_1,m_2) gcd(m1,m2)是否能被 a 2 − a 1 a_2-a_1 a2−a1整除，如果不行则是无解的。
当 y 1 y_1 y1和 y 2 y_2 y2求出以后，都乘上 ( a 2 − a 1 ) / g c d ( m 1 , m 2 ) (a_2-a_1)/gcd(m_1,m_2) (a2−a1)/gcd(m1,m2)
求出当前的解 x ′ x' x′.
接着当前的解可以转换成一条新的方程式：
x = x ′ ( m o d l c m ( m 1 , m 2 ) ) x=x'(\mod lcm(m_1,m_2)) x=x′(modlcm(m1,m2))，
这样继续和下一条方程式合并成一条新的方程式，
当只剩一条方程时， x ′ x' x′就是最终的答案。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define LL long long
LL a[11],m[11];
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{if(b==0){x=1;y=0;return a;}LL d=exgcd(b,a%b,x,y);LL t=x;x=y;y=t-a/b*y;return d;
}
int main()
{int n,i;scanf("%d",&n);for(i=1;i<=n;i++) scanf("%lld%lld",&m[i],&a[i]);LL A=a[1],M=m[1];for(i=2;i<=n;i++){LL x=0,y=0;LL l=a[i]-A;LL d=exgcd(M,m[i],x,y);if(l%d>0){printf("-1");return 0;}x*=l/d;x=(x%m[i]+m[i])%m[i];A+=M*x;M=M/d*m[i];A%=M;}printf("%lld",A);return 0;
}

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