BZOJ 1502 NOI 2005 月下柠檬树

题目大意

给定一些圆和梯形，求它们面积的并

解答

直接用辛普森公式积分

∫baf(x)×dx≈b−a6[f(a)+f(a+b2)+f(b)]

\int_a^bf(x)\times dx \approx {b-a\over6}[f(a)+f({a+b\over2})+f(b)]
由于辛普森公式对于4次及以上的函数误差比较大，所以可以二分，当满足

|Simpson(a,b)−Simpson(a,a+b2)−Simpson(a+b2,b)|≤eps

|Simpson(a, b)-Simpson(a,{a+b\over2})-Simpson({a+b\over2}, b)| \le eps
时就可以近似认为Simpson求出的值是正确值。
f(x)只要预处理一下就可以出来，首先将所有的高度乘上 cot(α)cot(\alpha)，然后求相邻两个不套在一起的圆的公切线:

sinA=BD−CEBCD(B.x+BD×sinA,BD×cosA)

sinA={BD-CE\over BC}\\D(B.x+BD\times sinA, BD \times cosA)

参考代码

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>using namespace std;const double eps = 1e-8;class Line
{public:double x1, y1, x2, y2;
};int n;
double alpha;
double h[800];
double r[800];
double ll = 0, rr = 0;
Line ls[1600];
int lt = 0;inline double sqr(double x)
{return x*x;
}void readin()
{scanf("%d %lf", &n, &alpha);double tmp = 1/tan(alpha);double x;for (int i = 0; i <= n; i++) {scanf("%lf", &x);x *= tmp;h[i] = x + (i ? h[i-1] : 0);}for (int i = 0; i < n; i++) {scanf("%lf", &r[i]);ll = min(ll, h[i]-r[i]);rr = max(rr, h[i]+r[i]);}r[n] = 0;rr = max(rr, h[n]);
}void preWork()
{double d;for (int i = 0; i < n; i++) {d = h[i+1]-h[i];if (d > fabs(r[i+1]-r[i])) {double sinbeta = (r[i]-r[i+1])/d;double cosbeta = sqrt(1-sqr(sinbeta));ls[lt].x1 = h[i]+r[i]*sinbeta;ls[lt].y1 = r[i]*cosbeta;ls[lt].x2 = h[i+1]+r[i+1]*sinbeta;ls[lt++].y2 = r[i+1]*cosbeta;}}
}double f(double l)
{double ret = 0;for (int i = 0; i < n; i++) {if (fabs(h[i]-l) < r[i])ret = max(ret, sqrt(sqr(r[i])-sqr(h[i]-l)));}for (int i = 0; i < lt; i++) {if (ls[i].x1 < l && ls[i].x2 > l) {double k = (ls[i].y2-ls[i].y1) / (ls[i].x2-ls[i].x1);ret = max(ret, ls[i].y1+k*(l-ls[i].x1));}}return ret;
}double simpson(double lp, double rp)
{double mid = (lp+rp)/2;return (rp-lp)*(f(lp)+4*f(mid)+f(rp))/6;
}double work(double lp, double rp)
{double mid = (lp+rp)/2;double cmp = simpson(lp, mid) + simpson(mid, rp);double cmp1 = simpson(lp, rp);if (fabs(cmp1-cmp) < eps)return cmp;return work(lp, mid) + work(mid, rp);
}int main()
{readin();preWork();printf("%.2lf", work(ll, rr)*2);return 0;
}

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