机器学习周志华--没有免费的午餐定理

没有免费的午餐定理(No Free Lunch Theorem),这个定理说明

若学习算法 L a L_a La 在某些问题上比学习算法 L b L_b Lb 要好，
那么必然存在另一些问题，
在这些问题中 L b L_b Lb 比 L a L_a La 表现更好。

这里说的表现好就是前面所说的泛化能力更强。然后出现了下面这个公式

E o t e ( L a ∣ X , f ) = ∑ h ∑ x ∈ χ − X P ( x ) I ( h ( x ) ≠ f ( x ) ) P ( h ∣ X , L a ) E_{ote}(L_a|X,f) = \sum_{h}\sum_{x\in\chi-X}P(x)\mathbb{I}(h(x)\neq f(x))P(h|X,L_a) Eote(La∣X,f)=∑h∑x∈χ−XP(x)I(h(x)=f(x))P(h∣X,La)

令人生畏的长公式，不过我们来依次解读它。

留坑，周末更
好了，周六了，今天终于看懂了这个定理的证明，下面我们一字一句地来解读书中的证明:
首先，定义好符号
χ \chi χ:样本空间，什么是样本空间呢?就是你的样本的属性张成的空间，书的前文有介绍
还是以他书中的西瓜来举例吧:
西瓜的属性和每个属性的取值是
色泽= 青绿||乌黑||浅白      x= 0 || 1 || 2
根蒂= 蜷缩||稍蜷||硬挺      y= 0 || 1 || 2
敲声= 浊响||沉闷||清脆      z= 0 || 1 || 2
你把色泽、根蒂、敲声想想成x，y，z轴。取值的范围都是0,1,2。怎么样，是不是像一个正方体的三维空间，当然属性可能有多种，那就上升到多维空间去了，不好想像了。

H H H:假设空间，什么是假设空间呢?
什么是假设呢，前面说也叫学得模型，这里我们不搞那些概念。请看这篇博主的文章http://blog.csdn.net/VictoriaW/article/details/77686168，看完应该就能理解假设空间和版本空间。(此处9月1日更新,这里的假设应该指的就是满足是好瓜的条件，样本空间是有明确的取值，而假设空间取值多一个*，表示取任意值都行，反正经过学习，可以得到一个假设，用来判断西瓜的好坏…。)

L a L_a La:学习算法，学习算法有其偏好性，对于相同的训练数据，不同的学习算法可以产生不同的假设，学得不同的模型，因此才会有那个学习算法对于具体问题更好的问题，这里这个没有免费的午餐定理要证明的就是:若对于某些问题算法 L a L_a La学得的模型更好，那么必然存在另一些问题，这里算法 L b L_b Lb学得的模型更好.这里的好坏在下文中使用算法对于所有样本的总误差表示

P ( h ∣ X , L a ) P(h|X,L_a) P(h∣X,La): 算法 L a L_a La基于训练数据 X X X产生假设 h h h的概率
这里我说一下自己的理解，既然是 L a L_a La基于 X X X产生假设 h h h的概率，那么就说明假设不止一个(你说这不是废话吗？上面都说有假设空间了，假设当然不止一个)，这里要注意的是这里的假设是一个映射，是 y = h ( x ) y=h(x) y=h(x)，是基于数据 X X X产生的对于学习目标(判断好瓜)的预测。因数据 X X X不一样，所以可能产生不一样的假设 h h h,既然假设假设有可能不一样，那么对每一种假设都有其对应的概率即 P ( h ∣ X , L a ) P(h|X,L_a) P(h∣X,La).而且所有假设 h h h加起来的概率为1，这个不难理解，概率总和为1

f f f:代表希望学得的真实目标函数，要注意这个函数也不是唯一的，而是存在一个函数空间，在这个空间中按某个概率分布，下文证明中采用的是均匀分布。

好，上面那个公式到了

首先看这个 E E E,这个 E E E是期望，expectation的意思，这个下标 o t e _{ote} ote,是off-training error，即训练集外误差(忘了是在哪篇博客上看到的了，错了我不负责嘻嘻)。

E o t e ( L a ∣ X , f ) E_{ote}(L_a|X,f) Eote(La∣X,f): 算法 L a L_a La学得的假设在训练集外的所有样本上的误差的期望

P ( x ) P(x) P(x): 对于这个，我的理解是样本空间中的每个样本的取得概率不同，什么意思呢？拿西瓜来说，(色泽=浅白，根蒂=硬挺，敲声=清脆)的西瓜可能比(色泽=浅白，根蒂=稍蜷，敲声=沉闷)的西瓜更多，取到的概率更大。所以有 P ( x ) P(x) P(x)这个概率。

I ( h ( x ) ≠ f ( x ) ) \mathbb{I}(h(x)\neq f(x)) I(h(x)=f(x)):看前面的符号表把这个叫做指示函数，这个很好理解，就像if语句括号里的表达式一样，为真就=1,为假就=0。

P ( h ∣ X , L a ) P(h|X,L_a) P(h∣X,La): 前面说过了，再复习一下，算法 L a L_a La基于训练集 X X X产生假设 h h h的概率。

其实这里最开始最令我困惑的是什么呢？是两个求和符号，因为这里求和符号感觉不规范啊！有木有，不过后来觉得理解了意思就大概行了.
第一个求和符号:
∑ h \sum_h ∑h: 这里的这个对假设的求和其实我也不是很理解，我的理解主要是不知道这个对假设求和的空间到底是：同一个算法对于不同训练集产生不同的假设，每个假设有不同的概率，还是算法对于同一个训练集会产生不同的假设，每个假设有不同的概率。不过这个不重要，群里有人说前三章看看就好，具体结合后面的算法来理解就行了，先往后面看着吧。(此处9月1日更新，这里是因为学习算法对于训练数据 χ {\chi} χ是可能产生多个假设的。且对不同的假设有不同的产生概率，所以有 P ( h ∣ X , L a ) P(h|X,L_a) P(h∣X,La)这个表达式吧应该。)
第二个求和符号:
∑ x ∈ χ − X \sum_{x\in{\chi-X}} ∑x∈χ−X：对于样本空间中每一个训练集外的数据都进行右边的运算。

好了，公式的每一部分都说清楚了，来整体理解一下，这个公式就是说:
对于算法 L a L_a La产生的每一个不同的假设 h h h,进行训练外样本的测试，然后测试不成功(因为求的是误差)指示函数就为1，并且两个概率相乘,最后所有的结果加起来，就是该算法在训练集外产生的误差。

然后下面考虑二分类问题，先要说明，对于我们想要求得的真实目标函数 f f f可能也不止一个，这个好理解，因为满足版本空间中的假设的函数都可以是真实目标函数，然后这些不同的 f f f有着相同的概率(均匀分布),函数空间为 { 0 , 1 } \left \{ 0,1 \right\} {0,1},那么有多少个这种函数呢?我们来看对于同一个样本的这个预测值，对于样本空间 χ \chi χ中的某个样本 x x x，如果 f 1 ( x ) = 0 f_1(x)=0 f1(x)=0， f 2 ( x ) = 1 f_2(x) = 1 f2(x)=1, 那么这就是两个不同的真实目标函数，所以对于某个样本可以区分出两个真实目标函数，一共有 ∣ χ ∣ \left | \chi \right| ∣χ∣个样本，所以一共有 2 ∣ χ ∣ 2^{\left | \chi \right |} 2∣χ∣个真实目标函数，这些真实目标函数是等可能分布的(均匀分布),所以对于某个假设 h ( x ) h(x) h(x)如果 h ( x ) = 0 h(x) = 0 h(x)=0那么就有 1 2 \frac{1}{2} 21的可能与真实目标函数相等。
所以下面来看这个公式推导

$\sum_f E_{ote}\left ( L_a|X,f\right) $
= ∑ f ∑ h ∑ x ∈ χ − X P ( x ) I ( h ( x ) ≠ f ( x ) ) P ( h ∣ X , L a ) = \sum_f\sum_h\sum_{x\in\chi-X}P(x)\mathbb{I}(h(x)\neq f(x))P(h|X,L_a) =∑f∑h∑x∈χ−XP(x)I(h(x)=f(x))P(h∣X,La)
= ∑ x ∈ χ − X P ( x ) ∑ h P ( h ∣ X , L a ) ∑ f I ( h ( x ) ≠ f ( x ) ) =\sum_{x\in\chi-X}P(x)\sum_hP(h|X,L_a)\sum_f\mathbb{I}(h(x)\neq f(x)) =∑x∈χ−XP(x)∑hP(h∣X,La)∑fI(h(x)=f(x)) ①
= ∑ x ∈ χ − X P ( x ) ∑ h P ( h ∣ X , L a ) 1 2 2 ∣ χ ∣ =\sum_{x\in\chi-X}P(x)\sum_hP(h|X,L_a)\frac{1}{2}2^{\left | \chi \right |} =∑x∈χ−XP(x)∑hP(h∣X,La)212∣χ∣ ②
= 1 2 2 ∣ χ ∣ ∑ x ∈ χ − X P ( x ) ∑ h P ( h ∣ X , L a ) =\frac{1}{2}2^{\left | \chi \right |}\sum_{x\in\chi-X}P(x)\sum_hP(h|X,L_a) =212∣χ∣∑x∈χ−XP(x)∑hP(h∣X,La) ③
= 2 ∣ χ ∣ − 1 ∑ x ∈ χ − X P ( x ) ⋅ 1 =2^{\left | \chi \right |-1}\sum_{x\in\chi-X}P(x)\cdot 1 =2∣χ∣−1∑x∈χ−XP(x)⋅1 ④

第一步是怎么推导出来的呢？这里涉及到一个求和运算
假设
a i ∈ { a 1 , a 2 , . . . , a m } a_i\in \left\{ a_1,a_2,...,a_m \right\} ai∈{a1,a2,...,am}
b j ∈ { b 1 , b 2 , . . . , b n } b_j\in \left\{ b_1,b_2,...,b_n \right\} bj∈{b1,b2,...,bn}
c k ∈ { c 1 , c 2 , . . . , c o } c_k\in \left\{ c_1,c_2,...,c_o \right\} ck∈{c1,c2,...,co}

那么
∑ i m ∑ j n ∑ k o a i b j c k \sum_i^m\sum_j^n\sum_k^oa_ib_jc_k ∑im∑jn∑koaibjck
= ∑ i m a i ∑ j n b j ∑ k o c k =\sum_i^ma_i\sum_j^nb_j\sum_k^oc_k =∑imai∑jnbj∑kock
这个，你想
( a 1 + a 2 + . . . + a m ) ( b 1 + b 2 + . . . + b n ) ( c 1 + c 2 + . . . + c o ) (a_1+a_2+...+a_m)(b_1+b_2+...+b_n)(c_1+c_2+...+c_o) (a1+a2+...+am)(b1+b2+...+bn)(c1+c2+...+co)
是不是等于
a 1 b 1 c 1 + a 2 b 1 c 1 + . . . a m b 1 c 1 + . . . + a m b n c o {a_1}{b_1}{c_1}+{a_2}{b_1}{c_1}+...{a_m}{b_1}{c_1}+...+{a_m}{b_n}{c_o} a1b1c1+a2b1c1+...amb1c1+...+ambnco
看懂了上面那个你再看第一步也就看懂了

第二步
主要是
∑ f I ( h ( x ) ≠ f ( x ) ) = 1 2 2 ∣ χ ∣ \sum_f\mathbb{I}(h(x)\neq f(x)) =\frac{1}{2}2^{\left | \chi \right |} ∑fI(h(x)=f(x))=212∣χ∣
这个，因为一共有 2 ∣ χ ∣ 2^{\left | \chi \right |} 2∣χ∣个 f f f，且均匀分布，所以 f ( x ) = 1 f(x) = 1 f(x)=1和 f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0的 f f f个数相等，对于每一个 h ( x ) h\left( x \right) h(x)来说,不管 h ( x ) = 0 h(x)=0 h(x)=0还是 1 1 1,都有一半 f ( x ) f(x) f(x)与之相等，即 1 2 2 ∣ χ ∣ \frac{1}{2}2^{\left | \chi \right |} 212∣χ∣
所以就得出第二步

第三步到第四步就更好理解了
概率求和为1,就是这么简单

经过这么一通推导后，发现得出期望的表达式中关于没有具体算法的，所以是算法无关的!
如果错误，望指出共交流，共学习！

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