系列文章目录

Delay Line 简介及其 C/C++ 实现
LFO 低频振荡器简介及其 C/C++ 实现

文章目录

系列文章目录
一、Delay 是什么
二、Delay 原理
- 2.1 The Basic Delay
- 2.2 Delay With Feedback
- 2.3 Wet & Dry
三、Delay C/C++ 实现
总结
参考

一、Delay 是什么

Delay（延迟）是一种信号处理技术，它将输入信号纪录起来，然后过一段时间再播放。当延迟信号与当前信号混合时，会产生类似回声（Echo）的效果。大多数人都有过在大山中大喊的经历，声音在山谷之间传递，回声余音袅袅。没错，所谓的 Echo 就是这种感觉。看下面两个对比视频，加深对 Echo 的理解：

土拨鼠的尖叫

土拨鼠的尖叫-Echo

毫无疑问，Delay 是当今市场上最强大的音乐制作工具之一。我们听到的几乎所有的调制效果都是用特定的延时创造的。

二、Delay 原理

2.1 The Basic Delay

最简单 Delay，即输入信号与延迟信号叠加得到输出信号，差分方程如下：
$\tag{1}$
其中 $D$ 为延迟时间，更准确的说，表示延迟了 $D$ 个采样点。下图是（1）的块状图。

我们对（1）进行 Z 变换，以此来探究 Basic Delay 对频率的影响：
$y(n)=x(n)+x(n−D)Y(z)=X(z)+X(z)z−D=X(z)(1+z−D)H(z)=Y(z)X(z)=1+z−D(2)\begin{aligned} y(n) &=x(n)+x(n-D) \\ Y(z) &=X(z)+X(z) z^{-D} \\ &=X(z)\left(1+z^{-D}\right) \\ H(z) &=\frac{Y(z)}{X(z)}=1+z^{-D} \end{aligned} \tag{2}$
从 $H(z) = 1+z^{-D}$ 可以推断出它没有极点，只有 D 个零点。接下来求它的零点：
$1+z−D=0z−D=−1\begin{aligned} 1+z^{-D} = 0 \\ z^{-D} = -1 \end{aligned}$
接下来就是复数次方根的求解了，这部分内容可以参考「珂学原理」No.110「复数的n次方根」。这里就不在重复视频提到的方法，而是利用欧拉公式求解。

让 $=e^{j \omega}$ ，通过欧拉公式转换得到：
$cos⁡(Dω)+jsin⁡(Dω)=−1\cos (D \omega)+j \sin (D \omega)=-1$
由于 $- 1$ 为实数，无复数部分，因此可得：
$cos⁡(Dω)=−1ω=±kπDk=1,3,5,…,D\begin{aligned} \cos (D \omega) = -1 \\ \omega=\pm \frac{k \pi}{D} \quad k=1,3,5, \ldots, D \end{aligned}$
当 $D = 2$ 时， $ω=±π2\omega=\pm \frac{\pi}{2}$
当 $D = 4$ 时， $ω=±π4,±3π4\omega=\pm \frac{\pi}{4}, \pm \frac{3\pi}{4}$
当 $D = 5$ 时， $ω=±π5,±3π5,±π\omega=\pm \frac{\pi}{5}, \pm \frac{3\pi}{5}, \pm \pi$
我们发现 D 个零点是平均分布在单位元上的，不同 D 的频谱响应如下图所示。

在 $D = 32$ 时可以看到频谱响应像是一把梳子一样，此类滤波器也被称为“梳妆滤波器”。

此外，我们还可以在 Audition 上使用 Basic Delay 对扫频信号进行处理，可以看到明显的梳妆特征。

处理前：

处理后：

2.2 Delay With Feedback

Basic Delay 只能产生单一的回声，应用比较有限。大多数 Delay 算法还会包含一个反馈控制，它将延迟后的信号以一定比例送回输入，如下图所示：

假设反馈控制那一条信号为 $g (n)$ ，那么上图的差分方程为：
$g(n)\\ \text{其中，} g(n) = x(n-D) + fg(n-D)$
进一步推导有：
$y(n−D)=x(n−D)+g(n−D)g(n−D)=y(n−D)−x(n−D)(3)\begin{aligned} y(n-D) &= x(n-D) + g(n-D) \\ g(n-D) &= y(n-D) - x(n-D)\\ \end{aligned}\tag{3}$
$g(n)=x(n−D)+fg(n−D)=x(n−D)+f(y(n−D)−x(n−D))=(1−f)x(n−D)+fy(n−D)因此y(n)=x(n)+g(n)=x(n)+(1−f)x(n−D)+fy(n−D)(4)\begin{aligned} g(n) &= x(n-D) + fg(n-D) \\ &= x(n-D) + f(y(n-D) - x(n-D)) \\ &= (1-f)x(n-D) + fy(n-D) \\ \text{因此} \\ y(n) &= x(n) + g(n) \\ &= x(n) + (1-f)x(n-D) + fy(n-D) \end{aligned}\tag{4}$

对上述差分方程进行 Z 变换得：
$Y(z)=X(z)+(1−f)z−DX(z)+fz−DY(z)(1−fz−D)Y(z)=(1+(1−f)z−D)X(z)(5)\begin{aligned} &Y(z) = X(z) + (1-f)z^{-D}X(z) + fz^{-D}Y(z) \\ &(1-fz^{-D})Y(z) = (1+(1-f)z^{-D})X(z) \\ \end{aligned} \tag{5}$
$\frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{1+(1-f)z^{-D}}{1-fz^{-D}} = \frac{z^D + 1 - f}{z^D - f} \tag{6}$
从公式（6）可知该滤波器有 D 个零点和 D 个极点，平均分布在单位圆内。再一次，复数次方根求解请参考「珂学原理」No.110「复数的n次方根」。不同 D 值的频响曲线和零极点分布图如下：

2.3 Wet & Dry

我们称处理后的信号为 “湿” 的信号，未经处理的信号为 “干”信号。一种更加实用的 Delay 算法将会 “湿” 信号和 “干” 信号进行 mix，并通过 Wet 和 Dry 两个系数来控制干湿比。其块状图如下：

差分方程为：
$\tag{7}$

z 变换推导和之前类似，不再赘述了。

三、Delay C/C++ 实现

说完原理，我们来说具体要如何实现。通常，Delay 使用 Delay Line 来实现，整体实现并不复杂，用一个函数就可以简单概况：

void process(AudioBuffer<float> *buffer,int delay_samples, float feedback, float dry, float wet) {for (size_t c = 0; c < buffer->getNumberChannels(); ++c) {float *channel = buffer->getWriterPointer(c);auto *dline = dlines_.getDelayLine(c);for (size_t i = 0; i < buffer->getNumberFrames(); ++i) {float in = channel[i];float d_y = dline->get(delay_samples);float d_x = in + feedback * d_y;dline->push(d_x);channel[i] = dry * in + wet * d_y;}}
}

上述代码中：

buffer->getWriterPointer(c) 和 dlines_.getDelayLine(c) ，分别获取当前声道数据和当前声道所使用的 Delay Line
在第二个 for 循环中，实现了公式（7）中的代码

具体更细节的代码内容请参考 Libaa - Delay

总结

以上就是今天的全部内容，我们首先介绍了 Delay 是什么，它可以产生 Echo，用于音效制作上；接着介绍了 Delay 的数学原理，从 Basic Delay 逐步发展到最终版本 Delay with Dry&Wet；最后还给出了 Delay 的 C/C++ 实现代码。

参考

「珂学原理」No.110「复数的n次方根」
Libaa - Delay

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