(王道408考研数据结构)第五章树-第四节2:平衡二叉树(AVL)及其旋转
文章目录
- 一:AVL树基本概念
- 二:AVL树实现原理
- (1)构建AVL树
- (2)构建演示
- (3)旋转方法
- A:右单旋转调整(插入到较高左子树左侧)
- B:左单旋转调整(插入到较高右子树右侧)
- C:先左后右双旋转调整(插入到较高左子树右侧)
- D:先右后左双旋转调整(插入到较高右子树左侧)
- 三:AVL树相关代码
一:AVL树基本概念
二叉排序树有一个缺陷:树的高度会直接影响其查找效率,且树越高效率越差,效率最差时为一棵单分支树
平衡二叉树(Self-Balancing Binary Search Tree):它首先是一颗二叉排序树,其中每个节点的左右子树高度之差绝对值不超过1。将二叉树上结点左子树和右子树高度之差的绝对值称之为平衡因子BF(Balance Factor),因此,平衡因子BF的取值只可能是-1、0和1中的一种
- -1:表示该结点左子树高度小于右子树高度
- 0:表示该结点左子树高度等于右子树高度
- 1:表示该结点左子树高度大于右子树高度
以下是一些例子
- ①是AVL树
- ②不是AVL树,因为AVL树前提必须首先是二叉排序树
- ③不是AVL树,因为结点58左子树高度为2,而右子树为高度为0,BF>1
- ④是AVL树
最小不平衡子树:距离插入点最近的,且平衡因子绝对值大于1的结点为根的子树
如下,当插入新节点37时,距离它最近的平衡因子绝对值超过1的结点是58,所以58开始以下的子树为最小不平衡子树
二:AVL树实现原理
(1)构建AVL树
AVL树构建思想:在构建二叉排序树的过程中,每当插入一个结点时,先检查该结点的插入是否导致了平衡性被破坏,若不是则继续插入;若是则找出最小不平衡子树,在保持二叉排序树特性的前提下,调整最小不平衡子树中各结点的链接关系,也即平衡调整,进行相应的旋转,使之成为新的平衡子树
int arr[10]={3,2,1,4,5,6,7,10,9,8}
假设上面数组需要构建为AVL树,由于AVL树首先是BST树,所以会构建成下面这样
但是我们知道,BST树很忌讳其高度太高,所以如果能调整为下面这样那再合适不过了,因为下面的树依然是一棵BST树,但是其高度小了很多,查找效率自然也会得到提高
因此对于AVL树的研究重点就在于如何调整,也就是如何旋转
(2)构建演示
对于333和222,构建时没有任何问题
来到111并将其插入后,发现根节点333的平衡因子变为了2,此时整棵树成为最小不平衡子树,需要进行调整:右单旋转调整(点击跳转查看)
- 因为此时结点插入到了较高左树左侧
- 调整后,222成为了根节点,333成为了222的右孩子,此树高度平衡
接着结点444到来,平衡因子没有变化
接着结点555到来,结点333的平衡因子变为-2,需要进行调整:左单旋转调整(点击跳转查看)
因为此时结点插入到了较高右树右侧
再次达到平衡
接着结点666到来,此时根节点222的平衡因子变为了-2,进行调整 左单旋转调整(点击跳转查看)
- 因为此时结点插入到了较高右树右侧
结点777到来,结点5的平衡因子变为了-2,进行调整 左单旋转调整(点击跳转查看)
- 因为此时结点插入到了较高右树右侧
结点101010到来,结构无变化
结点999到来,此时结点777的BF变为了-2,理应进行左单旋转调整,但是由于此时新结点插入到了较高右树左侧,故直接使用左单旋转调整是不可以的。(具体原因跳转过去会详细解释),需要进行 先右后左双旋转调整(点击跳转查看)
- 很明显999插入了777的右子树左侧,故不能直接使用左单旋转
- 故先对999和101010进行右旋,再对777、999和101010进行左旋
接着结点888插入,使结点666的BF变为了-2,属于插入到了较高右树的左侧,故需要进行 先右后左双旋转调整(点击跳转查看)
(3)旋转方法
大家最头疼的可能就是如何选择旋转方法了,总结如下,只需按照如下逻辑选择即可
A:右单旋转调整(插入到较高左子树左侧)
下图中为抽象树,三角形表示的树为高度平衡的二叉树排序树。如下情况中,结点A的平衡因子绝对值为1,左子树较高
此时来了一个新的结点恰好插入到了B结点的左树,导致A结点的平衡因子变为2,树不平衡,需要进行调整
调整时:将结点A下移一个高度,B上移一个高度,然后把B的右子树挂在A的左子树处(这样做可以保证二叉排序树的特性)
B:左单旋转调整(插入到较高右子树右侧)
左单调整和右单调整情况恰好相反,调整时结点B上移,结点A下移,让结点B的左子树做结点A的右子树
C:先左后右双旋转调整(插入到较高左子树右侧)
在右单旋转调整中,由于新的结点插入到了较高左子树的左侧,所以调整后可以使树平衡
但如果此时将新结点插入到较高左子树的右侧
此时如果继续使用右单旋转调整,你会发现怎么也调整不过去,依然不平衡
在这种情况下就要使用到双旋转调整了
我们先把较高左子树的右子树拆分一下,拆分为两棵树
大家会发现此时如果要在B的右侧插入一个结点有两个选择——要么插入到C的左侧,要么插入到C的右侧
这里我以插入到C的右侧为例
接着进行双旋转调整:先对B树进行左单旋转
形成了这样一颗树
然后对这颗树再进行右单旋转调整,树就平衡了
- 本例是插入到了C的右侧,如果插入到了C的左侧,调整也是一样的
D:先右后左双旋转调整(插入到较高右子树左侧)
- 特别注意:先看C部分再看本部分,C部分中解释较为详细,本部分只是逻辑相反
在左单旋转调整中,面对的情况是新节点插入到了较高右子树的右侧,而如果新节点插入到了较高右子树的左侧,那么就要使用先右后左双旋转调整
所以在这种情况下,先对右子树进行右单旋转调整,然后再进行左单旋转调整
三:AVL树相关代码
对于AVL树考研数据结构基本不涉及代码,其旋转过程逻辑并不难,只是需要多捋一捋。其代码实现有很多值得注意的地方,且稍不留心就容易掉坑,有兴趣的同学可以查看我的另一篇文章,其中代码都是可以跑通的,用C++实现
点击跳转
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