椭圆曲线加密中定义的加法运算

设椭圆曲线为 $y^2 = x^3 +ax +by \,\,\,mod \, p$

（1）若椭圆曲线上两个点 $P\left ( x_1,y_1 \right )$ 和 $Q\left ( x_2,y_2 \right )$ 相同，且 $P+Q=R\left ( x_3,y_3 \right )$ ，则

$\lambda =\frac{3x_1^2+a}{2y_1} \,mod\,p$
$x_3=\lambda ^2-2x_1\,\,\,mod\,p$
$y_3=\lambda \left ( x_1-x_3 \right )-y_1\,\,\,mod\,p$

（2）若椭圆曲线上两个点 $P\left ( x_1,y_1 \right )$ 和 $Q\left ( x_2,y_2 \right )$ 不同，且 $P+Q=R\left ( x_3,y_3 \right )$ ，则

$\lambda =\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \,\,\, mod\,p$
$x_3=\lambda ^2-x_1-x_2 \,\,\, mod\, p$
$y_3 = \lambda \left ( x_1-x_3 \right )-y_1\,\,\, mod\,p$

编程实现的主要难点在于取模运算，而且会涉及到对分数的取模，想进一步学习可以看这两个博客
a.椭圆曲线加密中的加法乘法浅析
b.有理数取模-分数取模-费马小定理

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