#10064. 「一本通 3.1 例 1」黑暗城堡

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题目类型：传统评测方式：文本比较

上传者： 1bentong

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题目描述

你知道黑暗城堡有 N 个房间，M 条可以制造的双向通道，以及每条通道的长度。

城堡是树形的并且满足下面的条件：

设 Di 为如果所有的通道都被修建，第 i 号房间与第 1 号房间的最短路径长度；

而 Si 为实际修建的树形城堡中第 i 号房间与第 1 号房间的路径长度；

要求对于所有整数 i (1≤i≤N)，有 Si=Di 成立。

你想知道有多少种不同的城堡修建方案。当然，你只需要输出答案对 2^31 取模之后的结果就行了。

输入格式

第一行为两个由空格隔开的整数 N,M;

第二行到第 M+1 行为 3 个由空格隔开的整数 x,y,l：表示 x 号房间与 y 号房间之间的通道长度为 l。

输出格式

一个整数：不同的城堡修建方案数对 2^31 取模之后的结果。

样例

样例输入

样例输出

样例说明

一共有 4 个房间，6 条道路，其中 1 号和 2 号，1 号和 3 号，1 号和 4 号，2 号和 3 号，2 号和 4 号，3 号和 4 号房间之间的通道长度分别为 1，2，3，1，2，1。

而不同的城堡修建方案数对 2^31 取模之后的结果为 6。

数据范围与提示

对于全部数据，1≤N≤1000，1≤M≤N(N−1)/2，1≤l≤200。

题意：

求一个无向图中最短路径树的棵数。

最短路径树的定义：

选出$N-1$条边组成一棵树，对于给定的源点$S$，

若任何点$u$均满足在原图上$S$到点$u$的最短路$dis(u)$等于在这棵树上$S$到$u$的最短路$disnew(u)$，

则这棵树是一棵最短路径树。

我的直观感受：答案应该等于$S$到每个点的最短路条数的乘积吧？

然后写了。错了。发现输入写错了。

（千万不要把连边读入写成$add(read(),read(),read())$，这玩意好像是反着读进来的）

改了输入，$A$了。

……

考虑生成一棵最短路径树的方法，只需要在$dis(v)>dis(u)+e(u,v)$（即发生更新）时记录$fa(v)=u$，

最后按父子关系把树连起来即可。由于每个点都有且仅有一个$fa$，可以证明这一定是一棵树。

我们发现，若出现一个$v$使得$dis(v)=dis(u)+e(u,v)$，$fa(v)$便有两种选择，任取一种均合法。

推广开来，当出现$N$个$dis(v)=dis(u)+e(u,v)$时，$fa(v)$便有$N+1$种选择，任取一种均合法。

（由于$dis(v)=dis(u)+e(u,v)$这样的状态不会影响最短路算法的运行，所以$fa(v)$取何值都不会对其他点产生影响）

既然每个点互不影响，我们就可以直接运用乘法原理把每个$v$的选择数乘起来得到答案。

显然$v$的选择数就是$S\rightarrow v$的最短路的条数，打板即可。

代码：

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<queue>using namespace std;
#define MAXN 100005
#define MAXM 1000005
#define mod 0x7fffffff
#define ll long longll hd[MAXN],to[MAXM<<1],cnt;
ll nxt[MAXM<<1],cst[MAXM<<1];
struct node{ll u,w;bool operator<(const node b)const{return w>b.w;}
};
ll dis[MAXN],ans[MAXN];
bool vis[MAXN];
inline ll read(){ll x=0,f=1;char c=getchar();for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-')f=-1;for(;isdigit(c);c=getchar())x=x*10+c-'0';return x*f;
}inline void addedge(ll u,ll v,ll w){to[++cnt]=v,cst[cnt]=w,nxt[cnt]=hd[u],hd[u]=cnt;to[++cnt]=u,cst[cnt]=w,nxt[cnt]=hd[v],hd[v]=cnt;return;
}inline void Dijkstra(ll s){memset(dis,127,sizeof(dis));priority_queue<node> q;q.push((node){s,0}); ans[1]=1;dis[s]=0;while(!q.empty()){node tp=q.top();q.pop();if(vis[tp.u]) continue;vis[tp.u]=1;for(ll i=hd[tp.u];i;i=nxt[i]){ll v=to[i],w=cst[i];if(dis[v]>tp.w+w){ans[v]=1,dis[v]=tp.w+w;q.push((node){v,dis[v]});}else if(dis[v]==tp.w+w) ans[v]++;}}return;
}int main(){ll N=read(),M=read(),num=1;for(ll i=1;i<=M;i++){ll u=read(),v=read(),w=read();addedge(u,v,w);}Dijkstra(1);for(ll i=1;i<=N;i++) num*=ans[i]%mod,num%=mod;printf("%lld\n",num%mod);return 0;
}

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