HYSBZ - 1101——莫比乌斯反演

【题目描述】
HYSBZ - 1101

【题目分析】
昨天测试出了一道差不多的题目，我只能想到暴力，各种优化，最后都是运行了好久TLE，最后才知道要用到莫比乌斯反演，就想着今天研究一下，得出的结论就是，我可能研究不来。。。
//要用到数论的知识，我连人家的基本的定义都理解不了，更不要说证明了。现在只能说学会用吧，我知道这里的莫比乌斯反演可以快速求出[1,n]和[1,m]中所有互质的数字的数目，当作板子用了吧。

这两天研究了一下数论函数，回来再看这道入门题觉得。。。
学习了一下除法分块，具体的那个推导我还是没有理解，但是大概知道怎么用了。

首先因为要求的是gcd(x,y)=d的，我们就要想到转换成互质来做（很多都是这样，因为互质有很多性质有很多函数我们可以进行处理），即求所有的gcd(x,y)=1，其中1<=x<=a/d,1<=y<=b/d，关于等于1的等式我们要联想到元函数，然后进行用莫比乌斯函数和恒等函数卷积展开（就是著名的莫比乌斯反演，其实只是卷积中很简单的一种。）再根据和式的性质：求的是所有能够整除gcd(i,j)（1<=i<=a/d,1<=j<=b/d）的数字k的莫比乌斯函数和，我们从k的角度来看，对于每一个k，能够同时被他整除的个数为(a/d/k) * (b/d/k)，而且k的取值范围是1<=k<=min(a/d,b/d),所以我们将式子的形式改变一下就得到对k进行求和的式子，然后用除法分块处理，最后的时间复杂度应该是O(sqrt(n))

自己实现了一下，直接A了。
【AC代码】

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<climits>#include<algorithm>using namespace std;typedef long long ll;int a,b,k;
int ans;
const int MAXN=50005;
const int MAXM=10005;
int prime[MAXN+5];
int check[MAXN+5];
int mobi[MAXN+5];
int sum[MAXN+5];
int tot=0;void creat_prime()
{mobi[1]=1;for(int i=2;i<MAXN;i++){if(check[i]==0){prime[tot++]=i;mobi[i]=-1;  }for(int j=0;j<tot&&prime[j]*i<MAXN;j++){check[prime[j]*i]=1;if(i%prime[j]==0){mobi[prime[j]*i]=0;break;}else{mobi[prime[j]*i]=-mobi[i];}}}for(int i=1;i<=MAXN;i++){sum[i]=sum[i-1]+mobi[i];}
}int solve(int n,int m)
{n/=k; m/=k;if(n>m) swap(n,m); if(n==0) return 0;int next,next1,next2;int tot=0;for(int i=1;i<=n;i=next){next1=n/(n/i); next2=m/(m/i);next=min(next1,next2);tot+=(n/i)*(m/i)*(sum[next]-sum[i-1]);next++;}return tot;
}int main()
{creat_prime();//check[2]=1;int T,u,v,w,flag;scanf("%d",&T);while(T--){ans=0;scanf("%d%d%d",&a,&b,&k);ans=solve(a,b);//这里有可能需要用容斥来计算其他区间的互质的数目，比如如果计算的是[a,b]和[c,d]，那么ans=solve(b,d)-solve(a-1,d)-solve(b,c-1)+solve(a-1,c-1);printf("%d\n",ans);}return 0;
}

自己实现的代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<climits>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;typedef long long ll;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int MAXN=5e4+5;int prime[MAXN],mobius[MAXN],sum[MAXN];
bool check[MAXN];
int tot;void pre()
{tot=0; mobius[1]=1; sum[1]=1;for(int i=2;i<MAXN;i++){if(!check[i]){prime[tot++]=i; mobius[i]=-1;}for(int j=0;j<tot && prime[j]*i<MAXN;j++){check[prime[j]*i]=true;if(i%prime[j]) mobius[prime[j]*i]=-mobius[i];else{mobius[prime[j]*i]=0; break;}}sum[i]=sum[i-1]+mobius[i];}
}int main()
{pre();int T; int a,b,d;scanf("%d",&T);while(T--){int ans=0;scanf("%d%d%d",&a,&b,&d);a/=d; b/=d;int l,r;int limit=min(a,b);for(l=1;l<=limit;l=r+1){r=min(a/(a/l),b/(b/l));ans+=(sum[r]-sum[l-1])*(a/l)*(b/l);}printf("%d\n",ans);}return 0;
}

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