1.随机现象与概率

（1）随机现象：在一定条件下,并不总是出现相同结果的现象，即事件结果不固定·。

（2）随机试验：可重复的随机现象，简称实验

（3）样本点：随机现象可能发生的基本结果

（4）样本空间：所有样本点的全体，常用 Ω= {ω}表示，ω为样本点

（5）随机事件：随机现象的某些基本结果组成的集合称为随机事件，简称事件,常用大写字母 A,B,C 等表示

（6）事件间的关系：

事件的包含关系：设在同一个试验里有两个事件 A 与 B，若事件 A 中任一基本结果必在 B 中，则称 A 被包含在 B中，或 B 包含 A，记为 A⊂BA⊂B 或 B⊃AB⊃A ，这时事件 A 的发生必导致事件 B 的发生。
事件的相等关系：设在同一试验里有两个事件 A 与 B 。若 A 中任一基本结果必在 B 中 (A⊂B)(A⊂B)，而 B 中任一基本结果也必在 A 中 (B⊂A)(B⊂A)，则称事件 A 与 B 相等，记为 A=B，这时 A 与 B 必含有相同的基本结果。
事件的互不相容性：在同一个试验里，若两个事件 A 与 B 没有相同的基本结果，则称事件 A 与 B互不相容，或称互斥。这时事件 A 与 B 不可能同时发生。
必然事件与不可能事件：任一个基本空间 Ω都有一个最大子集(基本空间本身 Ω )和一个最小子集，用空集符号 ϕ表示。最大子集就是必然事件，最小子集就是不可能事件。

（7）事件的运算：

对立事件：设 A为一个试验里的事件，则由不在 A 中的一切基本结果组成的事件称为 A 的对立事件，记为 ¯A。如在掷一颗骰子的试验中，事件 A= “出现偶数点”的对立事件 ¯A= “出现奇数点”。因为不出现偶数点必出现奇数点。
并运算：事件 A 与 B 的并，是由事件 A 与 B 中所有基本结果（相同的只计入一次)组成的一个新事件，记为 A∪B 。在掷一颗骰子的试验中，事件 A= “出现奇数点”={1,3,5} 与事件 B= “出现点数不超过3“ ={1,2,3} 的并为 A∪B={1,2,3,5}。可见，事件 AA 与 BB 中重复元素只须记入并事件一次。
交运算：事件 A与 B 的交，是由事件 A 与 B中公共的基本结果组成的一个新事件，记为 A∩B或 AB 。如在掷一颗骰子的试验里，A= “出现奇数点” ={1,3,5} 与事件 B= “出现点数不超过3 " ={1,2,3} 的交 AB={1,3} 。可见，若交事件 AB 发生，则事件 AA 与 BB 必同时发生,反之亦然。
差运算：事件 A 对 B 的差，是由在事件 A中而不在事件 B 中的基本结果组成的一个新事件，记为 A−B 。如在掷一颗骰子试验里，事件 A= “出现奇数点” ={1,3,5}对事件B= “出现点数不超过3 "={1,2,3} 的差事件是 A−B={5}。A−B 是表示事件 AA发生而事件 B 不发生这样一个事件。

（8）事件的概率

概率的公理化定义：在一个随机现象中，用来表示任一个随机事件 AA发生可能性大小的实数(即比率)称为该事件的概率，记为 P(A)，并规定

非负性公理：对任一事件 A，必有 P(A)⩾0。
正则性公理：必然事件的概率 P(Ω)=1 。
可加性公理：若 A1与 A2是两个互不相容事件(即 A1A2=ϕ), 则有 P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)

（9）事件的独立性

对任意两个事件 A与 B，若有 P(AB)=P(A)P(B)，则称事件 A 与 B相互独立，简称 A 与B独立。

2.条件概率、乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式

（1）条件概率

条件概率要涉及两个事件 A 与 B ，设 A 与 B 是基本空间 Ω 中的两个事件,且 P(B)>0,在事件 B 已发生的条件下, 事件 A 的条件概率 P(A∣B)定义为 P(AB)/P(B), 其中 P(A∣B) 也称为给定事件 B下事件 A 的条件概率。

（2）乘法公式

若 P(B)>0, 则P(AB)=P(B)P(A∣B)
若 P(A1A2⋯An−1)>0, 则P(A1A2⋯An)=P(A1)P(A2∣A1)P(A3∣A1A2)⋯P(An∣A1A2⋯An−1)

如果想要计算A、B同时发生的概率，那么可以先让事件B发生，计算事件B发生的概率P(B)，再计算B发生的条件下A发生的概率P(A|B)。

(3)全概率公式

设 B1,B2,⋯,Bn 是基本空间 Ω 的一个分割,则对 Ω 中任一事件 A,有

$P(A) = \sum_{i=1}^n P(A | B_i)P(B_i)$

（4）贝叶斯公式

$P(Bk|A)=\frac{P(AB_k)}{P(A)} = \frac{P(A|B_k)P(B_k)}{\sum_{i=1}^n P(A | B_i)P(B_i)}$

3.一维随机变量及其分布函数和密度函数

假如一个随机变量仅取数轴上的有限个或可列个孤立点, 则称此随机变量为离散随机变量。值充满数轴上的一个区间 (a,b) , 则称此随机变量为连续随机变量,其中 aa可以是 −∞, b 可以是＋∞。

计算一个由随机变量表示的随机事件的概率的思路有两种

1.直接计算法（利用分布函数计算）

2.间接计算法（利用密度函数计算）

如何使用python已知密度函数求分布函数/已知分布函数求密度函数：

## 已知柯西分布的密度函数求分布函数
from sympy import *
x = symbols('x')
p_x = 1/pi*(1/(1+x**2))
integrate(p_x, (x, -oo, x))

## 已知柯西分布的分布函数求密度函数
from sympy import *
x = symbols('x')
f_x = 1/pi*(atan(x)+pi/2)
diff(f_x,x,1)

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