2019.09.21 多校联合训练（普及组）

不要以为普及组的题就很和谐。。

勇者斗恶龙

一、题目

现在有一条 n 头龙，生命值为 h，勇士想要打败这条作恶多端的龙。

勇士攻击第 i 个头会造成 min(h,atki) 点伤害，即龙的生命值减少 min(h,atki) 点；但龙的第 i 个头受到伤害后会恢复 di 点生命值，即生命值增加 di 。勇士无法重复攻击同一个头，即他对于每个头最多只能攻击一次。当龙的生命值为 o 时则视为被勇士打败，此时它不能再恢复生命值了。勇士想要知道他是否能打败这头龙，如果能打败最少需要攻击多少次。

二、解法

0x01 错解及思考
首先先讲一个错解，虽然它是错的，但是可以启发我们。
发现每次攻击完后伤害都是ai−biai-biai−bi（除了最后一击），我们就可以把ai−biai-biai−bi排序，然后贪心取答案。
这个解法有一个局限，就是最后一击是与众不同的，看下面一组反例：
2 1050
50 0
1000 900
如果按上述的贪心算法，那么是得不到答案的，但是我们先取第一击，就可以得到答案。

0x02 贪心的改进
上面的贪心还是比较优秀，现在考虑改进它，我们可以将最后一击拿来枚举，记vi=ai−bivi=ai-bivi=ai−bi，将vivivi从大到小排序处理出一个前缀和，这就给我们提供了二分的条件，注意特别考虑枚举的最后一击在前缀和中的情况，时间复杂度O(nlogn)O(nlogn)O(nlogn)。

0x3f 代码
记得要特判h=0h=0h=0的情况。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define int long long
const int MAXN = 300005;
int read()
{int x=0,flag=1;char c;while((c=getchar())<'0' || c>'9') if(c=='-') flag=-1;while(c>='0' && c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();return x*flag;
}
int n,h,ans=0x3f3f3f3f,rank[MAXN],sum[MAXN],a[MAXN],b[MAXN];
struct node
{int v,id;bool operator < (node x) const{return v>x.v;}
}s[MAXN];
signed main()
{n=read();h=read();if(h==0){printf("Yes\n0\n");return 0;}for(int i=1;i<=n;i++){a[i]=read(),b[i]=read();s[i]=node{a[i]-b[i],i};}sort(s+1,s+1+n);for(int i=1;i<=n;i++){sum[i]=sum[i-1]+s[i].v;rank[s[i].id]=i;}for(int i=1;i<=n;i++){int loc=lower_bound(sum+1,sum+1+n,h-a[i])-sum;if(loc>=rank[i])loc=lower_bound(sum+1,sum+1+n,h-b[i])-sum;if(loc==n+1) continue;ans=min(ans,loc+(rank[i]>loc));}if(ans==0x3f3f3f3f)return !puts("No");puts("Yes");printf("%d\n",ans);
}

徒步旅行

一、题目

小 A 决定开始一场奇妙的徒步旅行，旅行地图可以看成是一个平面直角坐标系，小 A 从家 O(0,0) 出发，每一步移动只能由他此时所在的位置 (x,y) 走到以下四个坐标之一：(x-1,y)，(x,y-1)，(x+1,y)，(x,y+1)。现在有 n 个旅游景点，第 i 个旅游景点位置为(xi,yi)。由于世界如此之大，整个旅行地图被分成了多个不同的气候区，某个景点(xi,yi)的气候区 Ci=max(xi,yi)。小 A 想要更好的了解这个世界使得他这次徒步旅行更有意义，所以他想要去气候区 i+1 旅行当且仅当访问完气候区 i 的所有旅游景点。当他访问完所有的景点时，他会回到家里。小 A 想让你帮他设计出一条旅游路线使得他移动的步数最少，因为徒步旅行还是比较累的……

二、解法

对于每一个气候，可以发现它的起点和终点最有的取法一定是两个端点，明白这点后直接dpdpdp即可。
注意要考虑两个端点间不经过拐点的情况。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define int long long
const int MAXN = 300005;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int read()
{int x=0,flag=1;char c;while((c=getchar())<'0' || c>'9') if(c=='-') flag=-1;while(c>='0' && c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();return x*flag;
}
int n,m,dp[MAXN][2];
int abs_(int x)
{return x>0?x:-x;
}
struct point
{int x,y;int  operator * (point oth) const{return abs_(x-oth.x)+abs_(y-oth.y);}bool operator < (point oth) const{return max(x,y)<max(oth.x,oth.y);}
}p[MAXN],l[MAXN],r[MAXN];
signed main()
{n=read();for(int i=1;i<=n;i++)p[i]={read(),read()};sort(p+1,p+1+n);for(int i=1;i<=n;i++){if(p[i-1]<p[i]) {l[++m]=p[i];r[m]=p[i];continue ;}if(p[i].x==max(p[i].x,p[i].y)){if(p[i].y>l[m].y) l[m]=p[i];if(p[i].y<r[m].y) r[m]=p[i];}else{if(p[i].x>r[m].x) r[m]=p[i];if(p[i].x<l[m].x) l[m]=p[i];}}for(int i=1;i<=n;i++){int dis=l[i-1]*r[i-1];dp[i][0]=min(dp[i-1][0]+dis+r[i-1]*l[i],dp[i-1][1]+dis+l[i-1]*l[i]);dp[i][1]=min(dp[i-1][0]+dis+r[i-1]*r[i],dp[i-1][1]+dis+l[i-1]*r[i]);}printf("%lld\n",min(dp[n][0]+point{0,0}*r[n],dp[n][1]+point{0,0}*l[n]));
}

情报机器人

一、题目

点此看题

二、解法

看到这道题，就想到了二分答案，再看能不能生成树，结果只得了80分。
再看题目，发现机器人可以斜着走，所以它并不是一个单调的图像。
再考虑有没有单峰性质呢（其实是有的），下面给出证明：
??????????????????
然后我们可以把它转化成最小生成树问题，用三分解决边权，由于边的个数是O(n2)O(n^2)O(n2)的，选用primprimprim算法，时间复杂度O(n2logn)O(n^2logn)O(n2logn)。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
#define int long long
const int MAXN = 1005;
const int inf = (1ll<<60);
int read()
{int x=0,flag=1;char c;while((c=getchar())<'0' || c>'9') if(c=='-') flag=-1;while(c>='0' && c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();return x*flag;
}
int n,a,b,fa[MAXN],dis[MAXN],g[MAXN][MAXN],cnt,ans,res;
int dx[9]={0,1,-1,0,0,1,1,-1,-1};
int dy[9]={0,0,0,1,-1,1,-1,1,-1};
int abs_(int x)
{return x>0?x:-x;
}
struct point
{int x,y,d;int operator * (point oth) const{return abs_(x-oth.x)+abs_(y-oth.y);}point make(int t){return point{x+t*dx[d],y+t*dy[d],0};}
}p[MAXN],s[MAXN];
int find(int x)
{if(x^fa[x]) fa[x]=find(fa[x]);return fa[x];
}
int check(int x)
{int t=p[a].make(x)*p[b].make(x)-2*x;return t<=0?0:t;
}
void conquer(int l,int r)
{while(l<=r){int m=(l+r)/2;int m1=(l+m)/2,m2=(r+m)/2;int r1=check(m1),r2=check(m2);if(r1==0) res=min(res,m1);if(r2==0) res=min(res,m2);if(r1<=r2)r=m2-1;elsel=m1+1;}
}
signed main()
{n=read();for(int i=1;i<=n;i++){fa[i]=i;p[i]=point{read(),read(),read()};}for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=i+1;j<=n;j++){res=inf;a=i;b=j;conquer(0,2e9);g[i][j]=g[j][i]=res;}}memset(dis,0x3f,sizeof dis);dis[1]=0;for(int i=1;i<=n;i++){int id=0;for(int j=1;j<=n;j++)if(dis[id]>dis[j] && dis[j]!=-1)id=j;ans=max(ans,dis[id]);dis[id]=-1;for(int j=1;j<=n;j++)dis[j]=min(dis[j],g[id][j]);}if(ans==inf) puts("No solutions");else printf("%lld\n",ans);
}