遗传算法

一、介绍

遗传算法是用于解决最优化问题的一种搜索算法。遗传算法借用了生物学里达尔文的进化理论：“适者生存，优胜劣汰”，将该理论以算法的形式表现出来就是遗传算法的过程。

二、基本原理

1）程序流程

遗传算法是通过大量备选解的变换、迭代和变异，在解空间中并行动态地进行全局搜索的最优化方法，是模拟生物基因遗传的做法，算法的基本原理通过编码组成的群体组成初始群体后，遗传操作的任务就算对群体的个体按照他们对环境适应度（适应度）评估，施加了一定的操作之后从而实现优胜劣汰的进化过程，算法的基本程序框图：

2）物竞天择

我们可以假设有一个种群，这个种群存在的目标是帮我寻找一个函数F（x）的极值（可能是max or min），首先我们随机生成一组种群，假设我对变量x的取值范围为【0，8】，这是我们的变量域，因为我们要玩一些不一样的操作，先跟着我，后面你会恍然大悟！我们会有一个二进制域【0，2^8】,我们的二进制域对应的就是我们的变量域，我们将数字8看成8位的二进制数，可以得到2的八次方为：256，但因为我们在二进制当中我们是从0开始的，0-255，有256个数,我们的八位二进制数最多只能取到255,取不到256。

"二进制" 0 0 0 0   0 0 0 0
"二进制数 x-> " 1 1 1 1  1 1 1 1
"x转化为十进制" 1*2^0 + 1*2^1 + 1*2^2 + 1*2^3 + 1*2^4 + 1*2^5 + 1*2^6 + 1*2^7 = 255

因为我们实数x的范围只有【0，8】，我们将二进制转化为十进制之后，还有求解二进制域到变量域值，二进制域到变量域之间的映射关系为：

"变量域x_"  x_ = x*8/2^8

如此，我们将我们的8看作是染色体的长度，这样我们就可以做一些基因重组和基因变异的操作了！！！，我们先来一组基因重组图：

是不是很熟悉，这个不就是高中生物的杂交实验吗？如果我们把DD和dd看成我们染色体的0和1呢？我们再形象一点

# 定义我们的染色体
x1 = [0 1 0 0 1 0 0 1]
x2 = [1 1 0 1 0 0 0 1]
#OK 我们现在有两个种群了（抽象一点）
# 第一个种群 x1 的染色体为 0 1 0 0  1 0 0 1
# 第一个种群 x2 的染色体为 1 1 0 1  0 0 0 1#我们尝试做一下杂交实验？学一学孟德尔的八年抗战
"第一代:" 0 1 0 0    1 0 0 1      *      1 1 0 1    0 0 0 1|                              |v                              v"配子:" [0 1 0 0]    [1 0 0 1 ]        [1 1 0 1 ]   [0 0 0 1]  #用x1的第一个配子和x2的第二个配子进行基因重组#用x1的第二个配子和x2的第一个配子进行基因重组"F1代:" [0 1 0 0][0 0 0 1]              [1 1 0 1 ][1 0 0 1] new_x1 = [0 1 0 0 0 0 0 1]
new_x2 = [1 1 0 1 1 0 0 1]# 不知道你有没有恍然大悟

有了二进制的操作，我们做变异的时候也是同样的道理，我们只需要把0变异为1，1变异为0，就能完成我们的变异算法。

3）算法步骤

求解函数:f(x) = 9sin(5x) + 7cos(4*x)的最大值，x的取值范围为【0，8】

3.1初始化种群

我们先初始化我们的种群，先初始化一些随机解，因为我们要在搜索空间内寻找我们的最优解，可参考粒子群算法的思想。

def initpop(popsize, chromlength):"""Parameters----------popsize :  TYPE种群的数目.chromlength : TYPE表示染色体的长度（二值数的长度）， 长度的大小取决于变量的二进制编码的长度     Returns -------pop : TYPE随机种群"""pop=np.round(np.random.rand(popsize,chromlength))return pop

3.2二进制编码转化为十进制数

设计我们的算法，将二进制的矩阵转化为十进制数，为了得到我们的二进制域。

def decodebinary(pop):"""二进制数转十进制数函数Parameters----------pop : TYPE初始化种群.Returns-------pop2 种群的染色体二进制数转十进制数"""px,py = pop.shapepop1 = np.zeros((px,py))for i in range(py):pop1[:,i] = (2**(py-i-1))*pop[:,i]pop2=np.sum(pop1, 1)#对pop1向量的每行求和 标识位0代表每列求和，标识位1代表每行求和return pop2

我们的pop2是一个转化为十进制数之后的种群，可以理解为种群的表现型，我们的0和1的操作反应的是种群的基因型，因为我们的变量不可能只有一种，扩展我们的思维，我们先设置的染色体长度，因为我们的变量只有一个，它的值域在【0，8】，如果我们有两个变量，不同变量对应不同值域，我们的染色体的长度是否也要切片计算？仔细思考。

def decodechrom(pop,spoint,length):"""将二进制编码转化为十进制数Parameters----------pop : TYPEDESCRIPTION.spoint : TYPE染色体的起始位.length : TYPEDESCRIPTION.Returns-------pop2 : TYPEDESCRIPTION."""#对于多个变量而言，如有两个变量，采用20为表示，每个变量10位，则第一个变量从1开始，另一个变量从11开始。本例为一个变量#这句话的意思就是加入目标函数需要两个变量，则我可将染色体的数量拆为两个，然后遗传迭代#值得注意的是，我的染色体的长度也要跟着变量的数量改变，呈倍数关系pop1=pop[:,spoint:spoint+length]pop2=decodebinary(pop1)return pop2

这里的spoint代表的是我们的一个终止位，可以对我们的变量进行一个切片，自行理解。

3.3实现目标函数的计算

实现目标函数的计算，就是把x的值带进去，很简单。

def calobjvalue(pop):"""实现目标函数的计算Parameters----------pop : TYPE种群.Returns-------objvalue : TYPE返回目标函数值."""temp = decodechrom(pop, 0, 15)x=temp*15/32767objvalue = 9*np.sin(5*x)+7*np.cos(4*x)objvalue = np.reshape(objvalue,(-1,1))#以行的形式输出return objvalue

3.4剔除0以外的值

计算个体的适应值，在calobjvalue已经计算好，需要将小于0的个体删除，方便后续的概率计算。

def calfitvalue(objvalue):"""计算个体的适应值，在calobjvalue已经计算好，需要将小于0的个体删除，方便后续的概率计算Parameters----------objvalue : TYPE目标函数值.Returns-------fitvalue : TYPE个体适应值."""global CminCmin = 0fitvalue = np.zeros((objvalue.shape[0],objvalue.shape[1]))px, py = objvalue.shapefor i in range(px):if objvalue[i,0] + Cmin > 0:temp = objvalue[i,0] + Cminelse:temp = 0fitvalue[i,0]=tempreturn fitvalue

3.5选择算法

选择算法我们采用轮盘赌，决定哪些个体可以进入下一代，用轮盘赌选择复制

def selection(pop, fitvalue):"""选择函数 选择复制，决定哪些个体可以进入下一代采用轮盘赌选择Parameters----------pop : TYPE种群的个体.fitvalue : TYPE个体适应值.Returns-------newpop : dict新的种群."""totalfit = np.sum(fitvalue)fitvalue_pro = fitvalue / (totalfit + 0.000001)fitvalue_pro_cumnsum = np.cumsum(fitvalue_pro)fitvalue_pro_cumnsum = np.reshape(fitvalue_pro_cumnsum,(-1,1))#以行的形式px, py = pop.shape #轮盘随机概率 从小到大排序ms = np.sort(np.random.rand(px,1),0)fitin = 1 - 1   #pop种群 第几代个体 因为python的下标从0开始。所以是第一代的索引是0 故用1-1newin = 1 - 1  #pop种群 第几代个体newpop_dict = {}#我愿称为[适者生存，优胜劣汰] while循环while newin <= px-1:if ms[newin, 0] < fitvalue_pro_cumnsum[fitin, 0]:newpop_dict[newin] = pop[fitin,:]newin += 1else:fitin += 1newpop = np.zeros((newin,py))for i in range(newin):newpop[i,:] = newpop_dict[i]return newpop

3.6交叉算法（基因重组）

物竞天择是遗传学的核心，相应的，选择和变异也是遗传算法的核心，我们对染色体进行一个基因重组的操作，具体代码如下：

def crossover(pop, pc):"""交叉算法 实现基因重组Parameters----------pop : TYPE种群.pc : TYPE交叉概率.Returns-------newpop : TYPEDESCRIPTION."""px, py = pop.shape newpop = np.zeros((px, py))# seletion_litst = [i for i in range(px)]# sl = seletion_litst[0:px:2]for i in range(px-1):#是否能够进行基因重组if pc > np.random.rand(1)[0]:cpoint = int(np.round(np.random.rand(1)[0] * py) - 1)if cpoint == 0:cpoint = 1newpop[i, :][0:cpoint] = pop[i, 0:cpoint]newpop[i, :][cpoint+1:py] = pop[i+1, cpoint+1:py]newpop[i+1, :][0:cpoint] = pop[i+1, 0:cpoint]newpop[i+1, :][cpoint+1:py] = pop[i, cpoint+1:py]else:newpop[i,:] = pop[i,:]newpop[i+1,:] = pop[i+1,:]return newpop

3.7变异算法（基因突变）

0变1，1变0 你上你也行

def mutation(pop, pm):"""变异算法 实现基因突变Parameters----------pop : TYPE种群.pm : TYPE变异概率.Returns-------newpop : TYPE新的变异种群."""px, py = pop.shape newpop = np.zeros((px, py))for i in range(px):if pm > np.random.rand(1)[0]:mpoint = int(np.round(np.random.rand(1)[0] * py) - 1)if mpoint == 0:mpoint = 1newpop[i,:] = pop[i,:]if newpop[i, mpoint] == 0:newpop[i, mpoint] = 1newpop[i,:] = pop[i,:]return newpop

3.7最优计算（基因突变）

简单的排序取最大（不要忘记我们粒子群算法里面的全局极值和个体极值）

def best(pop, fitvalue):"""最优的个体及其适应值Parameters----------pop : TYPE种群.fitvalue : TYPE适应值.Returns-------bestindividual : 最大适应值DESCRIPTION.bestfit : TYPE最大适应值的个体."""px, py = pop.shape bestindividual = pop[0,:]bestfit = fitvalue[0]for i in range(1,px):if fitvalue[i] > bestfit:bestindividual = pop[i,:]bestfit = fitvalue[i]return bestindividual,bestfit

3.8主函数

不要忘记导入我们的numpy 和matplotlib库，将上面的函数和导入的库，放在主函数的上面，然后运行代码，不过我这里的取值是【0，15】，上面说【0，8】便于读者理解。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltif __name__ == "__main__":popsize=30; #群体大小chromlength=15; #字符串长度（染色体的长度）pc=0.7; #交叉概率 pm=0.005 #变异概率#初始化种群pop=initpop(popsize, chromlength)poptest=pop#开始迭代 epoch = 500x_ = []y_ = []for i in range(epoch):objvalue = calobjvalue(pop)     #计算目标函数值fitvalue = calfitvalue(objvalue)    #计算群体中每个个体的适应度newpop = selection(pop, fitvalue)newpop1 = crossover(newpop, pc)newpop2 = mutation(newpop1, pm)objvalue = calobjvalue(newpop2)     #计算目标函数值fitvalue = calfitvalue(objvalue)    #计算群体中每个个体的适应度bestindividual,bestfit = best(newpop2, fitvalue) #求出群体中适应值最大的个体及其适应值x_.append(bestfit)# y_.append(bestfit)pop = newpop2plt.plot(x_, lw=3, label='funcotio_max_value_x')plt.show()reshape_best_infrivedual = np.reshape(bestindividual,(1,-1))#以行的形式best_x_value = encode(reshape_best_infrivedual)plt.plot(x_, lw=3, label='funcotio_max_value_x')plt.legend()plt.show()print("最好的个体是 ",bestindividual)print("函数：f(x) = 9sin(5x)+7cos(4x)的极值为 ",bestfit[0]) #最后拟合之后随便取一个值即可print("x的取值应为： ",best_x_value[0]) #最后拟合之后随便取一个值即可# plt.plot(fv2, lw=3, label='fv2')# plt.legend()# plt.show()

4）运行结果

最好的个体是 [1. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.]

函数：f(x) = 9sin(5x)+7cos(4x)的极值为 15.999199583116948

x的取值应为： 7.851802117984557

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