bzoj2142 礼物

2142: 礼物

Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 259 MB
Submit: 848 Solved: 357
[Submit][Status][Discuss]

Description

一年一度的圣诞节快要来到了。每年的圣诞节小E都会收到许多礼物，当然他也会送出许多礼物。不同的人物在小E心目中的重要性不同，在小E心中分量越重的人，收到的礼物会越多。小E从商店中购买了n件礼物，打算送给m个人，其中送给第i个人礼物数量为wi。请你帮忙计算出送礼物的方案数（两个方案被认为是不同的，当且仅当存在某个人在这两种方案中收到的礼物不同）。由于方案数可能会很大，你只需要输出模P后的结果。

Input

输入的第一行包含一个正整数P，表示模；第二行包含两个整整数n和m，分别表示小E从商店购买的礼物数和接受礼物的人数；以下m行每行仅包含一个正整数wi，表示小E要送给第i个人的礼物数量。

Output

若不存在可行方案，则输出“Impossible”，否则输出一个整数，表示模P后的方案数。

Sample Input

100 4 2 1 2

Sample Output

【样例说明】
下面是对样例1的说明。
以“/”分割，“/”前后分别表示送给第一个人和第二个人的礼物编号。12种方案详情如下：
1/23 1/24 1/34
2/13 2/14 2/34
3/12 3/14 3/24
4/12 4/13 4/23
【数据规模和约定】
设P=p1^c1 * p2^c2 * p3^c3 * … *pt ^ ct，pi为质数。
对于100%的数据，1≤n≤109，1≤m≤5，1≤pi^ci≤10^5。

HINT

Source

方案数是n!/(w1!*w2!*…*wm!) mod p。

我们把p进行质因数分解，分解为若干个pi^ci的成绩，再将方案数对每一个pi^ci取模，最后用中国剩余定理合并。

现在的主要问题就是如何求出n! mod pi^ci和n!关于pi^ci的逆元，(其中pi为质数)。

假设pi=5(其余同理)，我们可以发现如下关系：

n!=(1*2*3*4*6*7*8*9*11*…)*5^(n/5)*(n/5)!

把所有p的倍数的项单独处理，后面的(n/5)!就可以递归求解。

这样我们就可以预处理阶乘，将p的倍数的项省略，用1代替。分子和分母类似，预处理阶乘的逆元。最后p的若干次幂用快速幂。注意最终p的次数是分母的次数减去分子的次数。

最终要注意sum<n和sum>n的情况的处理。(详见代码)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;i++)
#define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;i--)
#define maxn 200005
#define ll long long
using namespace std;
ll n,m,mod,cnt,sum,tot;
ll a[maxn],b[maxn],p[maxn],pc[maxn],fac[maxn];
inline ll read()
{ll x=0,f=1;char ch=getchar();while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;
}
inline void divide(int n)
{for(int i=2;i*i<=n;i++) if (n%i==0){p[++cnt]=i;pc[cnt]=1;while (n%i==0) pc[cnt]*=i,n/=i;}if (n>1) p[++cnt]=n,pc[cnt]=n;
}
inline ll power(ll x,ll y,ll p)
{ll ans=1;for(;y;y>>=1,x=x*x%p) if (y&1) ans=ans*x%p;return ans;
}
inline void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{if (!b){x=1;y=0;return;}exgcd(b,a%b,x,y);ll t=x;x=y;y=t-a/b*x;
}
inline ll inv(ll a,ll b)
{ll x,y;exgcd(a,b,x,y);return (x%b+b)%b;
}
inline ll calc(ll n,ll p,ll pc)
{if (n<p) return fac[n];tot+=n/p;return fac[n%pc]*power(fac[pc-1],n/pc,pc)%pc*calc(n/p,p,pc)%pc;
}
inline ll solve(ll p,ll pc)
{fac[0]=1;F(i,1,pc-1) fac[i]=fac[i-1]*(i%p?i:1)%pc;tot=0;ll t1=calc(n,p,pc),t2=1;ll tmp=tot;F(i,1,pc-1) fac[i]=fac[i-1]*(i%p?inv(i,pc):1)%pc;tot=0;F(i,1,m) t2=t2*calc(a[i],p,pc)%pc;return t1*t2%pc*power(p,tmp-tot,pc)%pc;
}
int main()
{mod=read();n=read();m=read();F(i,1,m){a[i]=read();sum+=a[i];}if (sum>n){printf("Impossible\n");return 0;}if (sum<n) a[++m]=n-sum;divide(mod);F(i,1,cnt) b[i]=mod/pc[i];ll ans=0;F(i,1,cnt){ll t1=solve(p[i],pc[i]),t2=inv(b[i],pc[i]);ans=(ans+t1*t2%mod*b[i]%mod)%mod;}printf("%lld\n",ans);return 0;
}

bzoj2142 礼物相关推荐

BZOJ2142: 礼物
BZOJ2142: 礼物 Description 一年一度的圣诞节快要来到了.每年的圣诞节小E都会收到许多礼物,当然他也会送出许多礼物.不同的人物在小E 心目中的重要性不同,在小E心中分量越重的人,收 ...
[题解]bzoj2142 礼物
Description 一年一度的圣诞节快要来到了.每年的圣诞节小E都会收到许多礼物,当然他也会送出许多礼物.不同的人物在小E 心目中的重要性不同,在小E心中分量越重的人,收到的礼物会越多.小E从商店 ...
BZOJ2142:礼物（扩展Lucas）
传送门题意: 求大组合数模p,p不是质数. 题解: 扩展lucas. 首先,将p质因数分解,得到 x≡a1(modpk11)x≡a2(modpk22)...x≡an(modpknn) x\equiv ...
基础省选＋NOI 第5部分数论进阶
1.欧拉函数欧拉函数欧拉函数入门_哔哩哔哩_bilibili 听陈老师讲数学家的故事,放羊娃欧拉_哔哩哔哩_bilibili RSA 算法如何计算公钥和私钥_哔哩哔哩_bilibili SWPU- ...
《信息学奥赛一本通提高篇》第6章组合数学
例1 计算系数(NOIP2011提高) 信息学奥赛一本通(C++版)在线评测系统 NOIP2011计算系数_nanhan27的博客-CSDN博客「NOIP2011」计算系数 - 组合数_TbYan ...
html如何设置四个链接,HTML基础（四）——设置超链接的样式示例
***设置超链接的样式示例 a:link超链接被点前状态 a:visited超链接点击后状态 a:hover悬停在超链接时 a:active点击超链接时在定义这些状态时,有一个顺序l v h a 代 ...
大写的服！中科大博士写20万字论文：如何给女朋友送礼物
点击上方"视学算法",选择加"星标"或"置顶" 重磅干货,第一时间送达本文来源:节选自丛日飞博士学位论文先写在前头,这是一篇正经的博士学 ...
中科大博士20万字正经论文：教你如何给女朋友送礼物
杨净萧箫发自凹非寺量子位报道 | 公众号 QbitAI 这是一篇迟来的送礼攻略. 也是一篇正经的论文解读. 中科大博士20万字,136页论文教你如何给女朋友送礼物. 这项研究是从1012对未 ...
大写的服！中科大博士20万字论文：如何给女朋友送礼物
点击上方"视学算法",选择"星标" 干货第一时间送达转载:募格学术本文来源:科研大匠节选自丛日飞博士学位论文这是一篇正经的博士学位论文. 情人节送什么礼物 ...