2020中国大学生程序设计竞赛（CCPC） - 网络选拔赛----HDU--6899、Xor（数位dp）

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题面：

题意：
求解符合 x∈[0,a],y∈[0,b]x\in[0,a],y\in[0,b]x∈[0,a],y∈[0,b] 且 ∣x−y∣≤k|x-y|\le k∣x−y∣≤k 且 xxory≤wx\ xor\ y \le wx xor y≤w 的 (x,y)(x,y)(x,y) 的数对数量。

题解：
①、官方题解：
将∣x−y∣≤k|x-y|\le k∣x−y∣≤k 拆为 y−x≤k且x−y≤ky-x\le k且x-y\le ky−x≤k且x−y≤k，再转化为 x+k≥y且y+k≥xx+k\ge y且y+k\ge xx+k≥y且y+k≥x

我们设
dp[bit][x≤a][y≤b][x+k≥y][进位][y+k≥x][进位][xxory≤w]dp[bit][x\le a][y\le b][x+k\ge y][进位][y+k\ge x][进位][x\ xor\ y\le w]dp[bit][x≤a][y≤b][x+k≥y][进位][y+k≥x][进位][x xor y≤w]

我们从低位往高位枚举。

bitbitbit 表示当前枚举到哪一位。
x≤ax\le ax≤a 表示 xxx 的范围。
y≤by\le by≤b 表示 yyy 的范围。
x+k≥yx+k\ge yx+k≥y 表示当前绝对值限制条件之一
进位进位进位表示考虑了当前 bitbitbit 位，x+kx+kx+k 产生的进位
y+k≥xy+k\ge xy+k≥x 表示当前绝对值条件限制之一
进位进位进位表示考虑了当前 bitbitbit 位，y+ky+ky+k 产生的进位
xxory≤wx\ xor\ y \le wx xor y≤w 表示 xxx 与 yyy 异或与 www 的关系。

时间复杂度大概是 O(能过)O(能过)O(能过)。

代码：

#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
#pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<string>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
namespace onlyzhao
{#define ui unsigned int#define ll long long#define llu unsigned ll#define ld long double#define pr make_pair#define pb push_back#define lc (cnt<<1)#define rc (cnt<<1|1)#define len(x)  (t[(x)].r-t[(x)].l+1)#define tmid ((l+r)>>1)#define fhead(x) for(int i=head[(x)];i;i=nt[i])#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))#define min(x,y) ((x)>(y)?(y):(x))#define one(n) for(int i=1;i<=(n);i++)#define rone(n) for(int i=(n);i>=1;i--)#define fone(i,x,n) for(int i=(x);i<=(n);i++)#define frone(i,n,x) for(int i=(n);i>=(x);i--)#define fonk(i,x,n,k) for(int i=(x);i<=(n);i+=(k))#define fronk(i,n,x,k) for(int i=(n);i>=(x);i-=(k))#define two(n,m) for(int i=1;i<=(n);i++) for(int j=1;j<=(m);j++)#define ftwo(i,n,j,m) for(int i=1;i<=(n);i++) for(int j=1;j<=(m);j++)#define fvc(vc) for(int i=0;i<vc.size();i++)#define frvc(vc) for(int i=vc.size()-1;i>=0;i--)#define forvc(i,vc) for(int i=0;i<vc.size();i++)#define forrvc(i,vc) for(int i=vc.size()-1;i>=0;i--)#define cls(a) memset(a,0,sizeof(a))#define cls1(a) memset(a,-1,sizeof(a))#define clsmax(a) memset(a,0x3f,sizeof(a))#define clsmin(a) memset(a,0x80,sizeof(a))#define cln(a,num) memset(a,0,sizeof(a[0])*num)#define cln1(a,num) memset(a,-1,sizeof(a[0])*num)#define clnmax(a,num) memset(a,0x3f,sizeof(a[0])*num)#define clnmin(a,num) memset(a,0x80,sizeof(a[0])*num)#define sc(x) scanf("%d",&x)#define sc2(x,y) scanf("%d%d",&x,&y)#define sc3(x,y,z) scanf("%d%d%d",&x,&y,&z)#define scl(x) scanf("%lld",&x)#define scl2(x,y) scanf("%lld%lld",&x,&y)#define scl3(x,y,z) scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&z)#define scf(x) scanf("%lf",&x)#define scf2(x,y) scanf("%lf%lf",&x,&y)#define scf3(x,y,z) scanf("%lf%lf%lf",&x,&y,&z)#define scs(x) scanf("%s",x+1)#define scs0(x) scanf("%s",x)#define scline(x) scanf("%[^\n]%*c",x+1)#define scline0(x) scanf("%[^\n]%*c",x)#define pcc(x) putchar(x)#define pc(x) printf("%d\n",x)#define pc2(x,y) printf("%d %d\n",x,y)#define pc3(x,y,z) printf("%d %d %d\n",x,y,z)#define pck(x) printf("%d ",x)#define pcl(x) printf("%lld\n",x)#define pcl2(x,y) printf("%lld %lld\n",x,y)#define pcl3(x,y,z) printf("%lld %lld %d\n",x,y,z)#define pclk(x) printf("%lld ",x)#define pcf2(x) printf("%.2f\n",x)#define pcf6(x) printf("%.6f\n",x)#define pcf8(x) printf("%.8f\n",x)#define pcs(x) printf("%s\n",x+1)#define pcs0(x) printf("%s\n",x)#define pcline(x) printf("%d**********\n",x)#define casett int tt;sc(tt);int pp=0;while(tt--)char buffer[100001],*S,*T;inline char Get_Char(){if (S==T){T=(S=buffer)+fread(buffer,1,100001,stdin);if (S==T) return EOF;}return *S++;}inline int read(){char c;int re=0;for(c=Get_Char();c<'0'||c>'9';c=Get_Char());while(c>='0'&&c<='9') re=re*10+(c-'0'),c=Get_Char();return re;}
};
using namespace onlyzhao;
using namespace std;const int inf=0x3f3f3f3f;
const ll lnf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const double dnf=1e18;
const int mod=998244353;
const int p=mod;
const double eps=1e-8;
const double pi=acos(-1.0);
const int hp=13331;
const int maxn=400100;
const int maxm=100100;
const int maxp=100100;
const int up=31;
const int g=3;ll dp[40][2][2][2][2][2][2][2];
//dp[bit][x<=a][y<=b][x+k>=y][进位][y+k>=x][进位][x^y<=w]
ll a,b,k,w;
ll dfs(int bit,int xa,int yb,int xky,int f1,int ykx,int f2,int xyw)
{if(bit==up){if(xa&&yb&&(xky||!xky&&f1)&&(ykx||!ykx&&f2)&&xyw)return 1;else return 0;}if(dp[bit][xa][yb][xky][f1][ykx][f2][xyw]!=-1) return dp[bit][xa][yb][xky][f1][ykx][f2][xyw];ll ans=0;int kbit=(k>>bit)&1,wbit=(w>>bit)&1;int abit=(a>>bit)&1,bbit=(b>>bit)&1;for(int i=0;i<=1;i++){for(int j=0;j<=1;j++){int nowxa=(xa&&i<=abit)||(!xa&&i<abit),nowyb=(yb&&j<=bbit)||(!yb&&j<bbit);int nowxky=(xky&&(((i+kbit+f1)&1)>=j))||(!xky&&(((i+kbit+f1)&1)>j));int nowf1=(i+kbit+f1)>>1;int nowykx=(ykx&&(((j+kbit+f2)&1)>=i))||(!ykx&&(((j+kbit+f2)&1)>i));int nowf2=(j+kbit+f2)>>1;int nowxyw=(xyw&&((i^j)<=wbit))||(!xyw&&((i^j)<wbit));ans+=dfs(bit+1,nowxa,nowyb,nowxky,nowf1,nowykx,nowf2,nowxyw);}}return dp[bit][xa][yb][xky][f1][ykx][f2][xyw]=ans;
}int main(void)
{int tt;scanf("%d",&tt);while(tt--){scanf("%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&k,&w);memset(dp,-1,sizeof(dp));printf("%lld\n",dfs(0,true,true,true,0,true,0,true));}return 0;
}

②、压缩两维状态：

我们将 ∣x−y∣≤k|x-y|\le k∣x−y∣≤k 的限制转化为 x−y+k>=0x-y+k>=0x−y+k>=0 且 y−x+k>=0y-x+k>=0y−x+k>=0

我们设：
dp[bit][limita][limitb][xxory≤w][上一位满足x−y+k>=0需要的补位][上一位满足y−x+k>=0需要的补位]dp[bit][limita][limitb][x\ xor\ y\le w][上一位满足x-y+k>=0需要的补位][上一位满足y-x+k>=0需要的补位]dp[bit][limita][limitb][x xor y≤w][上一位满足x−y+k>=0需要的补位][上一位满足y−x+k>=0需要的补位]

其中第 5、65、65、6 维取 −1，0，1-1，0，1−1，0，1 。当需要补位 <=−2<=-2<=−2 时，不可能再符合要求(因为若当前位需要补位 −2-2−2 ，那么下一位需要提供 +4+4+4 的贡献来抵消这 −2-2−2 的贡献，显然这是不可能的)。当需要补位 >=1>=1>=1 时，状态都是一致的。（因为这一位如果能多提供 >=1>=1>=1 的贡献，那么下一位就相当于多提供了>=2>=2>=2 的贡献，下一位至多提供 −1-1−1 的贡献，这样还有至少 111 的贡献能传递下去）

上一位需要补−1-1−1，那么这一位需要抵消−1∗2=−2-1*2=-2−1∗2=−2的贡献（抵消不了的可以继续传给再下一位抵消），上一位可以多出来111供使用，那么这一位可以使用1∗2=21*2=21∗2=2

时间复杂度 O(能过)O(能过)O(能过)

代码：

#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
#pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<string>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
namespace onlyzhao
{#define ui unsigned int#define ll long long#define llu unsigned ll#define ld long double#define pr make_pair#define pb push_back#define lc (cnt<<1)#define rc (cnt<<1|1)#define len(x)  (t[(x)].r-t[(x)].l+1)#define tmid ((l+r)>>1)#define fhead(x) for(int i=head[(x)];i;i=nt[i])#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))#define min(x,y) ((x)>(y)?(y):(x))#define one(n) for(int i=1;i<=(n);i++)#define rone(n) for(int i=(n);i>=1;i--)#define fone(i,x,n) for(int i=(x);i<=(n);i++)#define frone(i,n,x) for(int i=(n);i>=(x);i--)#define fonk(i,x,n,k) for(int i=(x);i<=(n);i+=(k))#define fronk(i,n,x,k) for(int i=(n);i>=(x);i-=(k))#define two(n,m) for(int i=1;i<=(n);i++) for(int j=1;j<=(m);j++)#define ftwo(i,n,j,m) for(int i=1;i<=(n);i++) for(int j=1;j<=(m);j++)#define fvc(vc) for(int i=0;i<vc.size();i++)#define frvc(vc) for(int i=vc.size()-1;i>=0;i--)#define forvc(i,vc) for(int i=0;i<vc.size();i++)#define forrvc(i,vc) for(int i=vc.size()-1;i>=0;i--)#define cls(a) memset(a,0,sizeof(a))#define cls1(a) memset(a,-1,sizeof(a))#define clsmax(a) memset(a,0x3f,sizeof(a))#define clsmin(a) memset(a,0x80,sizeof(a))#define cln(a,num) memset(a,0,sizeof(a[0])*num)#define cln1(a,num) memset(a,-1,sizeof(a[0])*num)#define clnmax(a,num) memset(a,0x3f,sizeof(a[0])*num)#define clnmin(a,num) memset(a,0x80,sizeof(a[0])*num)#define sc(x) scanf("%d",&x)#define sc2(x,y) scanf("%d%d",&x,&y)#define sc3(x,y,z) scanf("%d%d%d",&x,&y,&z)#define scl(x) scanf("%lld",&x)#define scl2(x,y) scanf("%lld%lld",&x,&y)#define scl3(x,y,z) scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&z)#define scf(x) scanf("%lf",&x)#define scf2(x,y) scanf("%lf%lf",&x,&y)#define scf3(x,y,z) scanf("%lf%lf%lf",&x,&y,&z)#define scs(x) scanf("%s",x+1)#define scs0(x) scanf("%s",x)#define scline(x) scanf("%[^\n]%*c",x+1)#define scline0(x) scanf("%[^\n]%*c",x)#define pcc(x) putchar(x)#define pc(x) printf("%d\n",x)#define pc2(x,y) printf("%d %d\n",x,y)#define pc3(x,y,z) printf("%d %d %d\n",x,y,z)#define pck(x) printf("%d ",x)#define pcl(x) printf("%lld\n",x)#define pcl2(x,y) printf("%lld %lld\n",x,y)#define pcl3(x,y,z) printf("%lld %lld %d\n",x,y,z)#define pclk(x) printf("%lld ",x)#define pcf2(x) printf("%.2f\n",x)#define pcf6(x) printf("%.6f\n",x)#define pcf8(x) printf("%.8f\n",x)#define pcs(x) printf("%s\n",x+1)#define pcs0(x) printf("%s\n",x)#define pcline(x) printf("%d**********\n",x)#define casett int tt;sc(tt);int pp=0;while(tt--)char buffer[100001],*S,*T;inline char Get_Char(){if (S==T){T=(S=buffer)+fread(buffer,1,100001,stdin);if (S==T) return EOF;}return *S++;}inline int read(){char c;int re=0;for(c=Get_Char();c<'0'||c>'9';c=Get_Char());while(c>='0'&&c<='9') re=re*10+(c-'0'),c=Get_Char();return re;}
};
using namespace onlyzhao;
using namespace std;const int inf=0x3f3f3f3f;
const ll lnf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const double dnf=1e18;
const int mod=1e9+7;
const double eps=1e-8;
const double pi=acos(-1.0);
const int hp=13331;
const int maxn=200100;
const int maxm=100100;
const int maxp=100100;
const int up=100100;ll a,b,k,w;
ll dp[40][2][2][2][3][3];
//dp[bit][limita][limitb][x^y==w or x^y<w][上一位满足x-y+k>=0需要的补位][上一位满足y-x+k>=0需要的补位]
//其中第5、6维取-1，0，1 当需要补位 <=-2 时，不可能再符合要求。当需要补位 >=1 时，状态都是一致的。
//上一位需要补-1，那么这一位需要-1*2=-2的贡献，上一位可以多出来1供使用，那么这一位可以使用1*2=2
ll dfs(int bit,bool limitx,bool limity,bool xyw,int b1,int b2)
{if(bit==-1)return b1>=0&&b2>=0;if(b1<-1||b2<-1) return 0;if(dp[bit][limitx][limity][xyw][b1+1][b2+1]!=-1) return dp[bit][limitx][limity][xyw][b1+1][b2+1];int upa=limitx?(a>>bit)&1:1;int upb=limity?(b>>bit)&1:1;int kbit=(k>>bit)&1,wbit=(w>>bit)&1;ll ans=0;for(int x=0;x<=upa;x++){for(int y=0;y<=upb;y++){if(!xyw&&(x^y)>wbit) continue;ans+=dfs(bit-1,limitx&&x==upa,limity&&y==upb,xyw||(x^y)<wbit,min(2*b1+x-y+kbit,1),min(2*b2+y-x+kbit,1));}}return dp[bit][limitx][limity][xyw][b1+1][b2+1]=ans;
}int main(void)
{int tt;scanf("%d",&tt);while(tt--){scanf("%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&k,&w);memset(dp,-1,sizeof(dp));printf("%lld\n",dfs(30,true,true,false,0,0));}return 0;
}

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