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让丨梦想丨有迹可循

这是20届川大计算机 第 3 篇文章

零师姐 2017届以初试353分，复试第2的成绩考入四川大学计算机科学与技术专业。现于文彦考研担任专业课导师，辅导川大874计算机综合考研专业课。多次参与与IT公司的合作项目中，熟悉计算机专业的考研动态与就业形势。

时间复杂度专场

学习数据结构，那么时间复杂度就是一个逃不过的话题。今天我们就来仔细看看它是什么？怎么计算时间复杂度？它怎么考？这三个问题。

我们把 算法需要执行的运算次数 用 输入大小n 的函数 表示，即 T(n) 。

此时为了 估算算法需要的运行时间 和 简化算法分析，我们引入时间复杂度的概念。

定义：存在常数 c 和函数 f(N)，使得当 N >= c 时 T(N) <= f(N)，表示为 T(n) = O(f(n)) 。

如图：

算法的时间复杂度，用来度量算法的运行时间，记作: T(n) = O(f(n))。它表示随着 输入大小n 的增大，算法执行需要的时间的增长速度可以用 f(n) 来描述。

显然如果 T(n) = n^2，那么 T(n) = O(n^2)，T(n) = O(n^3)，T(n) = O(n^4) 都是成立的，但是因为第一个 f(n) 的增长速度与 T(n) 是最接近的，所以第一个是最好的选择，所以我们说这个算法的复杂度是 O(n^2) 。

那么当我们拿到算法的执行次数函数 T(n) 之后怎么得到算法的时间复杂度呢？

1、我们知道常数项对函数的增长速度影响并不大，所以当 T(n) = c，c 为一个常数的时候，我们说这个算法的时间复杂度为 O(1)；如果 T(n) 不等于一个常数项时，直接将常数项省略。

2、我们知道高次项对于函数的增长速度的影响是最大的。n^3 的增长速度是远超 n^2 的，同时 n^2 的增长速度是远超 n 的。 同时因为要求的精度不高，所以我们直接忽略低此项。

3、因为函数的阶数对函数的增长速度的影响是最显著的，所以我们忽略与最高阶相乘的常数。

综合起来：如果一个算法的执行次数是 T(n)，那么只保留最高次项，同时忽略最高项的系数后得到函数 f(n)，此时算法的时间复杂度就是 O(f(n))。为了方便描述，下文称此为 大O推导法。

由此可见，由执行次数 T(n) 得到时间复杂度并不困难，很多时候困难的是从算法通过分析和数学运算得到 T(n)。对此，提供下列四个便利的法则，这些法则都是可以简单推导出来的，总结出来以便提高效率。

1、对于一个循环，假设循环体的时间复杂度为 O(n)，循环次数为 m，则这个

循环的时间复杂度为 O(n×m)。

2、对于多个循环，假设循环体的时间复杂度为 O(n)，各个循环的循环次数分别是a, b, c...，则这个循环的时间复杂度为 O(n×a×b×c...)。分析的时候应该由里向外分析这些循环。

3、对于顺序执行的语句或者算法，总的时间复杂度等于其中最大的时间复杂度。

4、对于条件判断语句，总的时间复杂度等于其中 时间复杂度最大的路径 的时间复杂度。

时间复杂度分析的基本策略是：从内向外分析，从最深层开始分析。如果遇到函数调用，要深入函数进行分析。

时间复杂度其实并不难，通过这次我为你们准备的这几道逐步“升级”的题目，再消化一下上述的知识点，相信你们应该已经有把握了。至于一些整理得更全面的干货我也会全部在我的课上分享给你们的，你们放心吧。

就到暑假了，黄金复习时间同学们一定要好好把握，有疑问的地方不要自己愣着想，可以直接在群里问我，毕竟学习的时间那么宝贵，将疑问都抛给零师姐吧

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