由“求最大公约数“引发的思考

　　经朋友推荐了一本二潘的《初等数论》，现在又像回到小时候一样，变得喜欢探究数学。书本刚刚翻到了P14，感觉这样翻来无趣，就索性写下自己的一些感悟。以后回忆起来也不枉自己看过这本书。

　最大公约数

　　设a₁，a₂ 是两个不全为零的整数，我们把a₁，a₂公约数中最大一个称为a₁，a₂ 的最大公约数，记做(a₁，a₂)。

　定理

　　对任意整数 x，(a₁，a₂) = (a₁，a₁+a₂X)，有(a₁，a₂，a3，... ，a_k) = (a₁，a₁+a₂x，a3，... ，a_k)

应用

　　例子：对任意的整数n，有(21n+4,14n+3) = (7n+1,14+3) = (7n+1,1) = 1

　　有这个例子可以推出来对于任意的整数n，有21n+4，14n+3互质。

　　一道IMO中的题目：证：对任意自然数n，分数(21n+4)/(14n+3) 都不可约。这道题目和上面的例子就比较类似了。所以在这里就不证了。

　　看到这里也许有的同学也许不是很理解，那个例子为什么会这么连等于。其实说白了，我们在中学就学过一个更相减损法，想象是不是就可以想通了，可以移步到百度百科，这里就不在赘述。

总结

　　对于求最大公约数，目前就算数层面上有两中算法，一种是更相减损法，另一种是辗转相除法，最后没有提到的是穷举法，在算数中不试用，不提。

转载于:https://www.cnblogs.com/John-fei/p/9251995.html

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