LeetCode1143动态规划详解!
LeetCode1143 最长公共子序列
1. 问题描述
给定两个字符串 text1 和 text2,返回这两个字符串的最长公共子序列。
一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串:它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符(也可以不删除任何字符)后组成的新字符串。
例如,“ace” 是 “abcde” 的子序列,但 “aec” 不是 “abcde” 的子序列。两个字符串的「公共子序列」是这两个字符串所共同拥有的子序列。
若这两个字符串没有公共子序列,则返回 0。
示例 1:
输入:text1 = “abcde”, text2 = “ace”
输出:3
解释:最长公共子序列是 “ace”,它的长度为 3。
示例 2:
输入:text1 = “abc”, text2 = “abc”
输出:3
解释:最长公共子序列是 “abc”,它的长度为 3。
2. (吹水)
最长公共子序列(Longest Common Subsequence,简称 LCS)是一道非常经典的面试题目,也是一道老典型动态规划了,原型是“0-1背包问题”。使用“动态规划”解决问题的思路是“以空间换时间”,即我们常说的,填表格!!!(这波呀,老动态规划了)
动态规划:
动态规划方法并不是什么高大上的方法可以直接解决问题,而是让我们去寻找原始问题(或者和原始问题差不多)的最初的样子,通过“状态转移方程”记录每一步求解的结果,一步一步解决,最后迎娶白富美走上人生巅峰。
一般来讲,使用动态规划有5个步骤:
1)定义状态
2)思考初始化
3)思考输出
4)思考状态转移方程(这一步是最难的)
5)考虑状态压缩(即优化)
3.理性分析
第一步,一定要明确 dp 数组的含义。
对于字符串text1和text2,一般都要构建这样一个dp表。text1=“abcde”,text2=“acez”
为了方便理解,这里我们约定字符串的索引从1开始。其中dp[i][j]的含义是:对于s1[1,i]和s2[1,j],它们两者的LCS长度为dp[i][j]。比如dp[2][3]=1,即s1=“ab”,s2=“ace”,它们的LCS长度为1。
第二步,思考初始化
我们让索引为0的行和列分别表示当s1为空 or s2为空,因此第一行和第一列都应该初始化为0。
第三步,思考输出
我们的输出应该为表格中的最后一格,即dp[text1.length()][text2.length()]
第四步,思考状态转移方程(这一步是最难的,希望读者细品)
这道题要求我们求text1和text2的最长公共子序列,那么对于text1和text2中的每一个字符,他们都有两种命运:在LCS中,或者不在LCS中。
text1=“abcde”,text2=“acez”,LCS=“ace”
我们可以注意到,如果某个字符在LCS中,那么他一定存在于 text1 和 text2 中,因此我们需要用两个指针 i 和 j 分别指向 text1 和 text2 ,如果我们发现 text1[i] == text2[j] ,那么这个字符一定在LCS中,即 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1 ;
那么如果 text1[i] != text2[j] 呢?就会有三种情况:
1)s1[i]字符在LCS中,s2[j]不在LCS中,比如 text1[3](c)和 text2[4](z)比较。此时z不在LCS中。那么此时的LCS应该等价于去 掉text2[4] 这个字符的LCS。说明 ”text1=abc,text2=acez” 和 最长子序列应该和 ”text1=abc,text2=ace” 的最长子序列相等,
即 dp[3][4]=dp[3][3] == dp[i][j] = dp[i][j-1]
2)s1[i]字符不在LCS中,s2[j]在LCS中,比如 text1[4] = d 和 text2[2] = c 比较,此时d不在LCS中。说明" text1 = abcd 和 text2 = ac " 的最长子序列和 " text1=abc,text2 = ac " 相等,即dp[4][2] = dp[3][2],即 dp[i][j] = dp[i-1][j] 。
3)两个字符都不在LCS中。显然dp[i][j] = dp[i-1][j-1]。(这里不在多述,如有疑问欢迎在评论区提
因此,我们得到了当 text1[i] != text2[j] 的状态转移方程,即
dp[i][j] = max (dp[i-1][j] , dp[i][j-1] , dp[i-1][j-1])
第五步:压缩状态状态方程(即优化)
dp[i-1][j] = max( dp[i-1][j-1],dp[i-2][j] )
即dp[i-1][j] >= dp[i-1][j-1]
同理可得dp[i][j-1] >= dp[i-1][j-1]
也就是说我们在求 dp[i][j] 的时候,不需要再比较 dp[i-1][j-] 了,因为在求前面的 dp[i-1][j] 和 dp[i][j-1] 时,已经比较过了。因此我们的状态转移方程可以进一步优化为:
4. 代码详解
class Solution1143 {public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {if(text1==null || text2==null)return 0;int n1 = text1.length();int n2 = text2.length();if(n1==0 || n2==0)return 0;//dp[i][j]:text1的前i个字符和text2的前j个字符最长的公共子序列int[][] dp = new int[n1+1][n2+1];for(int i=1;i<=n1;i++){for(int j=1;j<=n2;j++){if(text1.charAt(i-1) == text2.charAt(j-1)){dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;}else{dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);}}}return dp[n1][n2];}
}
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