高精度算法

总起代码

加法高精度

减法高精度

乘法高精度

除法高精度

高精度算法

当我们利用计算机进行数值计算，有时候会遇到这样的问题： n！的精确结果是多少？
当n小于30的时候，我们当然可以通过电脑自带的计算器计算出来。但是当我们遇到 100! 的时候就没有办法直接计算出精确的结果。再比如，求两个20000位的数的和。所谓高精度运算，是指参与运算的数（加数，减数，因子……）范围大大超过了标准数据类型（整型，实型）能表示的范围的运算。

高精度处理，实际上就是模拟法，模拟手算，它的原理与我们用竖式计算时一样的，不过在处理过程中要注意高精度数据的读入、转换储存、数据的计算、结果位数的计算、输出等几个问题。高精度计算中需要处理如下几个问题：

数据的输入：

数据的输入，需要考虑输入的位数问题（可能成百上千位），也要考虑输入的数可能带字母（可能是16进制）等问题。所以我们可以采用字符串输入或者字符数组输入。

//方式一：
string s1,s2;
cin>>s1>>s2;

//方式二,使用字符数组的时候要注意，字符数组要分配足够的空间
char s1[200];
char s2[200];
cin>>s1>>s2;

数据的转换储存：

数据是通过字符串输入的，不能够直接进行计算，需要转换成数字。我们选用最基本的转换储存方式，字符串的一个字符对应数组中的一个元素，把字符串的数字全部转换到一个数组中，其中数组下标为1对应输入数的个位，数组下标为2的对应输入数的十位，以此类推。

//使用字符串类型接收
string s1,s2;
int a[1000],b[1000];
void transfer(){int len1=s1.length();a[0]=len1;//将输入数据的位数存储在整型数组的第一个元素for(int i=0;i<len1;i++){a[i+1]=s1[len1-1-i]-'0';//逆序存储}int len2=s2.length();b[0]=len2;for(int i=0;i<len2;i++){b[i+1]=s2[len2-1-i]-'0';//逆序存储}
}

//使用字符数组接收
char s1[1010],s2[1010];
int a[1000],b[1000];
void transfer(){int len1=strlen(s1);a[0]=len1;//将输入数据的位数存储在整型数组的第一个元素for(int i=0;i<len1;i++){a[i+1]=s1[len1-1-i]-'0';//逆序存储}int len2=strlen(s2);b[0]=len2;for(int i=0;i<len2;i++){b[i+1]=s2[len2-1-i]-'0';//逆序存储}
}

通过这样，我们就可以把输入的数据很好的放入数组当中了。

数据的计算

参考相应的高精度运算专题版（包括加法、减法、乘法和除法）

结果位数的计算

去除最高位的0，在各个算法中都有体现

结果的输出

输出计算结果。

每种高精度运算的过程，大家可以通过一个竖式来提高自己的认识。对于除法的高精度可以了解一下，其他几个高精度的算法，必须掌握。

总起代码

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;const int N = 1e3;
string str1,str2;//输入操作数int num1[N],num2[N];//转化后的操作数
int num3[N];
void transfer(string s, int n[]);
void print(int n[]);void add(int n1[],int n2[],int n3[]);
void sub(int n1[],int n2[],int n3[]);
bool comp(int n1[],int n2[]);void mul(int n1[],int k,int n3[]);
void mul(int n1[],int n2[],int n3[]);void div(int n1[N],int k,int n3[]);
int main(){//1.读入cin>>str1>>str2;//2.存储转化transfer(str1,num1);transfer(str2,num2);//3.计算
//    add(num1,num2,num3);//3.减法
//    if(comp(num1,num2)){
//        sub(num1,num2,num3);
//        print(num3);
//    }else{
//        sub(num2,num1,num3);
//        cout<<"-";
//        print(num3);
//    }//3.乘法：高*低
//    mul(num1,100,num3);
//    mul(num1,num2,num3);
//    print(num3);div(num1,99,num3);print(num3);return 0;
}void transfer(string s, int n[]){int len = s.size();n[0] = len;//操作数的长度；for (int i = 0; i < len ; ++i) {n[i+1] = s[len - 1 - i] - '0';}
}void print(int n[]){for (int i = n[0]; i >= 1 ; i--) {cout<<n[i];}
}/*** n1 + n2 -> n3* @param n1* @param n2* @param n3*/
void add(int n1[],int n2[],int n3[]){int d[N] = {0};int len = max(n1[0],n2[0]);for (int i = 1; i <= len ; ++i) {d[i] += n1[i] + n2[i];d[i + 1] = d[i] / 10;d[i] = d[i] % 10;}//4.处理前导0int l = len + 1;while(d[l] == 0 && l > 1){l --;}d[0] = l;memcpy(n3,d, N * sizeof(int));
}void sub(int n1[],int n2[],int n3[]){int d[N] = {0};int len = n1[0];for(int i = 1;i <= len;i++){if(n1[i] < n2[i]){n1[i + 1] --;n1[i] += 10;}d[i] = n1[i] - n2[i];}int l = len;while(d[l] == 0 && l > 1){l--;}d[0] = l;memcpy(n3,d,N * sizeof(int));
}bool comp(int n1[],int n2[]){if(n1[0] != n2[0]){return n1[0] > n2[0];}else{int len = n1[0];for (int i = len; i >= 1 ; i--) {if(n1[i] != n2[i]){return n1[i] > n2[i];}}return true;}
}/*** 高精度*低精度* @param n1* @param k* @param n3*/
void mul(int n1[],int k,int n3[]){int d[N] = {0};int len = n1[0];for (int i = 1; i <= len ; ++i) {d[i] += n1[i] * k;d[i + 1] = d[i] / 10;d[i] = d[i] % 10;}//处理进位int l = len + 1;while (d[l] >= 10){d[l + 1] = d[l] / 10;d[l] = d[l] % 10;l++;}//前导0while(d[l] == 0 && l > 1){l--;}d[0] = l;memcpy(n3,d,N * sizeof(int));
}void mul(int n1[],int n2[],int n3[]){int d[N] = {0};//n1[i] * n2[j]结果放在d[i+j-1]for (int i = 1; i <= n1[0] ; ++i) {for (int j = 1; j <= n2[0] ; ++j) {int t = i + j - 1;d[t] += n1[i] * n2[j];d[t + 1] += d[t] / 10;d[t] = d[t] % 10;}}int l = n1[0] + n2[0];while(d[l] == 0 && l > 1){l -- ;}d[0] = l;memcpy(n3,d, N * sizeof(int));
}void div(int n1[N],int k,int n3[]){int d[N] = {0};int r = 0;for (int i = n1[0]; i >= 1 ; i--) {int sum = r * 10 + n1[i];d[i] = sum / k;r = sum % k;}//前导0int l = n1[0];while(d[l] == 0 && l > 1){l -- ;}d[0] = l;memcpy(n3,d,N * sizeof(int));
}

下面来详细讲解 ↓

加法高精度

加法：

两个正整数相加，c数组=a数组+b数组（注：a[1]表示a数据的个位），对应位置相加，得到的新数字如果超过9，把个位留下，高位进上去，完全模拟加法的竖式运算，注意各位是从数组下标1开始的，运用如下代码。

/**
*
* @param a 加法
* @param b 加数
* @param c 和
* @param len 数组c的长度
*/
void add(int a[],int b[],int c[],int len){int d[len]={0};int m=max(a[0],b[0]);for(int i=1;i<=m;i++){d[i]=a[i]+b[i];d[i+1]=d[i]/10; //进位d[i]=d[i]%10; //取进位后余下的数}memcpy(c,d,len* sizeof(int));
}

去掉计算结果中最高位的0，因为两数相加，可能不产生进位，因此需要把这种情况下最高位的0去掉，其实就是减小和的长度。

//与上面的add函数相比，多了去掉高位0的操作
/**
*
* @param a 加法
* @param b 加数
* @param c 和
* @param len 数组c的长度
*/
void add(int a[],int b[],int c[],int len){int d[len]={0};int m=max(a[0],b[0]);for(int i=1;i<=m;i++){d[i]=a[i]+b[i];d[i+1]=d[i]/10; //进位d[i]=d[i]%10; //取进位后余下的数}int l=m+1;while(d[l]==0&&l>1){l--;}d[0]=l;memcpy(c,d,len* sizeof(int));
}

输出结果

void printResult(int c[]){for(int i=c[0];i>=1;i--){cout<<c[i];}
}

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int a[2000],b[2000],c[2000];
char al[2000],bl[2000];
int main(){int la,lb,lc,x=0;gets(al); gets(bl);la=strlen(al); lb=strlen(bl);for(int i=0;i<=la-1;++i) a[la-i]=al[i]-48;for(int i=0;i<=lb-1;++i) b[lb-i]=bl[i]-48;lc=1;while(lc<=la||lc<=lb){c[lc]=a[lc]+b[lc]+x;x=c[lc]/10;c[lc]%=10;lc++;}c[lc]=x;while(c[lc]==0) lc--;for(int i=lc;i>=1;--i) cout<<c[i];cout<<endl;return 0;
}

减法高精度

比较数组a和数组b的大小从而确定结果的正负号。

两个正整数相减，a数组=大a数组-小b数组，通常情况下，需要比较参与运算的两个整数的大小，通过大数减小数，模拟普通的减法，从低位开始对应的减，不足就向高位借一。

//比较两个数的大小，使用大数减去小数
bool compare(int a[],int b[]){if(a[0]!=b[0]){return a[0]>b[0];}else{for(int i=a[0];i>=1;i--){if(a[i]!=b[i]){return a[i]>b[i];}}return 1;}
}

使用大数减小数，并且去掉最高位的0。

/**
*
* @param a
* @param b a,b为参与计算的两个数
* @param c 差
* @param len 数组c的长度
*/
void sub(int a[], int b[], int c[], int len) {int d[len] = {0};for (int i = 1; i <= a[0]; i++) {if (a[i] < b[i]) {a[i] += 10;a[i + 1]--;}d[i] = a[i] - b[i];}int l = a[0];while (d[l] == 0 && l > 1) {l--;}d[0] = l;memcpy(c, d, len * sizeof(int));
}

打印输出结果

void printResult(int c[]){if(!compare(a,b)){cout<<"-";}for(int i=c[0];i>=1;i--){cout<<c[i];}
}

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
char s1[10001],s2[10001],n[10001];
int a[10001],b[10001];
int main(){scanf("%s",s1); scanf("%s",s2);if(strlen(s1)==strlen(s2)){cout<<"0";}else if(strlen(s1)<strlen(s2)||strlen(s1)==strlen(s2)&&strcmp(s1,s2)<0){strcpy(n,s1);strcpy(s1,s2);strcpy(s2,n);printf("-");}int len1=strlen(s1),len2=strlen(s2);for(int i=len1-1;i>=0;--i) a[len1-(i+1)+1]=s1[i]-'0';for(int i=len2-1;i>=0;--i) b[len2-(i+1)+1]=s2[i]-'0';for(int i=1;i<=len1;++i){a[i]-=b[i];if(a[i]<0) a[i]+=10,a[i+1]--;}while(! a[len1]) len1--;for(int i=len1;i>=1;--i) printf("%d",a[i]);return 0;
}

乘法高精度

乘法

这里有2种方法：

1：
一大正整数乘以小正整数，即高精度数乘以一个整型数，c数组=a数组*k;
同加法类似，每一位都乘以k，再加上之前的进位，如果新得到的数字超过了10，那么个位留下，高位进上去。

/**
*
* @param a 被乘数
* @param k 乘数
* @param c 积
* @param len 数组c的长度
*/
void multipy(int a[],int k,int c[],int len){int d[len]={0};for(int i=1;i<=a[0];i++){d[i]+=a[i]*k;d[i+1]=d[i]/10;d[i]=d[i]%10;}int p=a[0]+1;//防止出现大于10的位while(d[p]>=10){d[p+1]=d[p]/10;d[p]=d[p]%10;p++;}
}

去除最高位的0，首先需要确定这两个数相乘可能的最大位数长度：

//计算k的位数
int f=k;
int size=0;
while(f!=0){size++;f/=10;
}

//size是乘数k的位数，乘积的长度
int l=a[0]+size;

完整的乘法函数

/**
*
* @param a 被乘数
* @param k 乘数
* @param c 积
* @param len 数组c的长度
*/
void multipy(int a[],int k,int c[],int len){int d[len]={0};for(int i=1;i<=a[0];i++){d[i]+=d[i]+a[i]*k;d[i+1]=d[i]/10;d[i]=d[i]%10;}int l=a[0]+1;int t=d[l];while(t!=0){d[l]=t%10;t/=10;l++;}
//去除前导0while(d[l]==0&&l>1){l--;}d[0]=l;memcpy(c,d,len* sizeof(int));
}

2：
两大正整数相乘，c数组=a数组*b数组
模拟普通乘法竖式计算。

/**
*
* @param a 被乘数
* @param b 乘数
* @param c 乘积
* @param len 数组c的长度
*/
void multiply(int a[],int b[],int c[],int len){int d[len]={0};for(int i=1;i<=a[0];i++) {for (int j = 1; j <= b[0]; j++){d[i + j - 1] = a[i] * b[j] + d[i + j - 1];d[i+j]+= d[i + j - 1] / 10;//进位d[i + j - 1] = d[i + j - 1] % 10;}}int l=a[0]+b[0];while(d[l]==0&&l>1){l--;}d[0]=l;
//数组d拷贝导数组cmemcpy(c,d,len* sizeof(int));
}

输出结果

void printResult(int c[]){for(int i=c[0];i>=1;i--){cout<<c[i];}
}

代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
char a2[1001],b2[1001];
int a[1001],b[1001],s,ss,s3,x,c[10001];
int main(){gets(a2);gets(b2);s=strlen(a2);ss=strlen(b2);for(int i=0;i<=s-1;i++)a[s-i]=a2[i]-'0';for(int i=0;i<=ss-1;i++)b[ss-i]=b2[i]-'0';for(int i=1;i<=s;i++){x=0;for(int j=1;j<=ss;j++){c[i+j-1]=a[i]*b[j]+x+c[i+j-1];x=c[i+j-1]/10;c[i+j-1]%=10;}c[i+ss]=x;}s3=s+ss;while(c[s3]==0&&s3>1)s3--;for(int i=s3;i>=1;i--) cout<<c[i];cout<<endl;return 0;
}

除法高精度

除法

这里也有2种方法：

1：

大正整数除以小正整数，c数组=a数组÷b数，模拟除法竖式计算

/**
*
* @param a 被除数
* @param k 除数
* @param c 商
* @param l
*/
void divide(int a[],int k,int c[],int len){int d[len]={0};int x=0; //从高位开始除for(int i=a[0];i>=1;i--){d[i]=(x*10+a[i])/k;x=(x*10+a[i])%k;}
//计算k的位数int f=k;int size=0;while(f!=0){size++;f/=10;}
//size是成数k的位数int l=max(a[0]-size+1,1);
//去除前导0while(d[l]==0&&l>1){l--;}d[0]=l;
//把数组d的数据拷贝给cmemcpy(c,d,len* sizeof(int));
}

2：

大正整数除以小正整数，c数组=a数组÷b数组

找到运算结果的最高位，从最高位一直循环到个位：

for(int i=a[0]-b[0]+1;i>=1;i--){//a[0]-b[0]+1运算结果的最高位
//除法运算
}

数组a从最高位到当前位与数组b进行比较

/**
* 比较大小
* @param a 被除数
* @param b 除数
* @param current 从最高位数到当前位置
* @return
*/
bool compareab(int a[],int b[],int current){if(a[0]-current+1>b[0]){return true; //大}else if(a[0]-current+1<b[0]){return false;//小}else{for(int i=a[0],j=b[0];i>=current;i--,j--){if(a[i]==b[j]){continue;}else{return a[i]>b[j];}}return 1;}
}

数组a从最高位到当前位减数组b

/**
* 减法
* @param a 被除数
* @param b 除数
* @param current 从最高位数到当前位置
* @return
*/
void deduce(int a[],int b[],int current){for(int i=current,j=1;i<=a[0];i++,j++){if(a[i]<b[j]){a[i]+=10;a[i+1]--;}a[i]=a[i]-b[j];}int len=a[0]; //减完以后把最高位的0去掉while(a[len]==0){len--;}a[0]=len; //
}

补充前面循环中的除法处理代码：

/**
*
* @param a
* @param b
* @param c
* @param len 数组a和数组c的长度，通常情况下我们把a,b,c三个数组的长度都设置成相同
*/
void divide(int a[],int b[],int c[],int len){int d[len]={0};int a1[len];
//使用a1进行计算，因为在计算过程中，被除数会被改变，因此拷贝一个数组参与运算memcpy(a1,a,len* sizeof(int));d[0]=1;//防止输入的被除数小于除数，无输出结果。for(int i=a[0]-b[0]+1;i>=1;i--){int t=0;while(compareab(a1,b,i)){deduce(a1,b,i);t++;}d[i]=t;}int l=max(a[0]-b[0]+1,1);
//去除前导0while(d[l]==0&&l>1){l--;}d[0]=len;
//把数组d的数据拷贝给cmemcpy(c,d,len* sizeof(int));
}

输出结果

void printResult(int c[]){for(int i=c[0];i>=1;i--){cout<<c[i];}
}

代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int a[100],b[100],c[100];
int compare(int a[],int b[])
{  int i;  if(a[0]>b[0])  return 1;  if(a[0]<b[0])  return -1;  for(i=a[0];i>0;i--){  if(a[i]>b[i])  return 1;  if(a[i]<b[i])  return -1;  }  return 0;
}  void subduction(int a[],int b[])
{  int flag;  int i;  flag=compare(a,b);  if(flag==0){  a[0]=0;  return;  }  if(flag==1){  for(i=1;i<=a[0];i++)  {  if(a[i]<b[i]) {  a[i+1]--;  a[i]+=10;  }  a[i]-=b[i];  }  while(a[0]>0&&a[a[0]]==0)  a[0]--;  return;  }
}
int main()
{  char str1[100],str2[100];  int i,j;  memset(a,0,sizeof(a));  memset(b,0,sizeof(b));  memset(c,0,sizeof(c));  cin>>str1>>str2;  a[0]=strlen(str1);  b[0]=strlen(str2);  for(i=1;i<=a[0];i++)  a[i]=str1[a[0]-i]-'0';  for(i=1;i<=b[0];i++)  b[i]=str2[b[0]-i]-'0';  int temp[100];  c[0]=a[0]-b[0]+1;  for(i=c[0];i>0;i--)  {  memset(temp,0,sizeof(temp));  for(j=1;j<=b[0];j++)temp[j+i-1]=b[j];  temp[0]=b[0]+i-1;  while(compare(a,temp)>=0)  {  c[i]++;  subduction(a,temp);  }  }  while(c[0]>0&&c[c[0]]==0) c[0]--;  if(c[0]==0) cout<<0<<endl;  else  {  for(i=c[0];i>0;i--)  cout<<c[i];  cout<<endl;  }  if(a[0]==0) cout<<0<<endl;  else  {  for(i=a[0];i>0;i--)  cout<<a[i];  cout<<endl;  }  return 0;
}

注意除以0的情况！！