前期回顾

【基本无害】动态理性预期理论与广义矩估计01

如果使用 GMM 对动态理性预期模型进行识别，主要是基于动态欧拉方程，昨天我们的推文已经介绍了动态欧拉方程：

我们举了若干不同的经济学模型的例子，最后都得到了动态欧拉方程，需要注意的是该方程(或称为模型)的参数只有两个，即： 。
但是需要注意  的值算出来最后不符合经济学逻辑，比如利用美国股票数据，从 1959-1993，算出来  为 91.4097(1 步-GMM 法)或者 57.3992(迭代-GMM)，这就是大名鼎鼎的“资产溢价之谜”。

Lucas的C-CAPM模型

今天我们主要介绍 Lucas 的 1978 年模型，即 C-CAPM 模型来说明“资产溢价之谜”。利用 C-CAPM 模型也可以得到动态欧拉方程。首先假设投资者仅能在股票和无风险债券中做出选择进行投资，则其试图优化一下问题：

s.t

债券持有量(t 时对 1 单位消费的要求)  股票持有量 股票价格(相对于债券的价格) 红利 资产总价值
需注意，假设债券价格为单位 1(比如：一元)。

则一阶条件(FOCs)为：

而终值条件(TVCs)为：

需要注意的是，这些等式必须对所有投资者成立，无论市场是完备市场还是非完备市场。对于一些投资者来说，这些方程可能是以不等式形式存在，主要原因是投资者可处于借贷或卖空限制状态。

因此，以上方程对资产价格+消费之间的关系施加了可检验的限制条件。无论市场是完备的还是不完备的，这些限制都是一样的。在实践中，因为很少有长时间序列的个人消费数据。这使得这些限制难以检验。但是，如果市场是完备的，因此存在一个代表性投资人，那么我们就可以检验对总数据的限制条件。

也就是说，在完备市场或禀赋型经济体下，个体具有相同便好和相同的禀赋，导致在均衡时，每个人消费(人均)总禀赋，由资产的红利流组成(可参见“卢卡斯树模型”)。如同所示：

有两点需要注意：1)关于收益的调整，让每个人满足于消费自己的禀赋。在均衡状态下，不存在资产交易! 这些都是 "影子价格"。显而易见，出现在均衡处，因为债券的净供给为零)。

2)注意，卢卡斯只是颠覆了弗里德曼的 "永久收入假说 "的逻辑。弗里德曼假设资产收益Rt是外生的，并利用消费欧拉方程对最优消费行为进行描述。该假说在Hall 78被正式检验。

相比之下，卢卡斯模型中，卢卡斯假设消费是外生的，并使用欧拉方程对均衡资产价格做出描述。

由此Lucas模型最有特色的是：在Lucas模型之前，经济学家一般认为资产价格满足随机游走，而在Lucas模型中，资产价格不满足随机游走设定。为了说明为何？我们举例说明：先看一下欧拉方程，

上式的推导我们用到了以下概率统计基本特性：假设,分别为两个随机变量，则有

因为有 
和的存在，  导致不是鞅过程。请特别注意，随机游走满足鞅过程，但逆命题不成立。如果一个随机过程不满足鞅过程，那么该随机过程也一定不是随机游走。

说明：已知满足的情形下，我们如果还强制认定是鞅过程，即存在，则必须满足。

由此可见，一般而言，即使在有效市场中，资产价格也可以不是随机游走，因为有和项的存在。这反映了 "时变的风险溢价"。也就是说，价格满足鞅过程，我们可以说投资者处于风险中性环境中，仅此而已。

此外还需要注意，鞅过程与随机游走之间的关系。

从技术上讲，鞅过程仅对随机过程的(条件)一阶矩进行了要求。因此，它比随机漫步的限制性小，后者对随机过程的整个分布都进行了限制性要求。因此，ARCH/GARCH仍可以保持鞅特性，虽然我们明显知道，ARCH/GARCH模型不满足随机游走过程特性。

用C-CAPM模型说明资产溢价之谜

下面继续讨论。

我们可以定义资产的收益率，，于是欧拉方程可写为： ，此外不妨利用CRRA模型，

即认为效用函数满足 ，则欧拉方程化为： ， 然后为了便于计算， 我们再定义 消费增长率， 而 ， 则此时欧拉方程化为。

我们再定义一个函数， 并利用泰勒展开公式在 和 处进行二阶展开，则有

而假设也十分合理，于是可以化简得到：  ,  , ,  , ,

将以上结果带回欧拉方程，则有 令 ，于是有

， 然后化简得到定义无风险利率 ，其中：

• 表示不耐烦性
• 代表消费增长率的跨期替代效用
• 审慎性储蓄

我们于是可以写为 这就是C-CAPM的最终结论。

• :表示风险价格
• : 表示风险量

如果令，则C-CAPM公式可以写为：

由此可见，除了不可直接观测外，其余量皆可利用数据计算得到。下面介绍为何出现了美国股票市场的风险溢价之谜。我们不妨将美国的数据带入该模型，看看会发生什么？ 表示的是年化美国股票收益率均值，该数据可从市场上获得 表示美国国库券的年化收益率，该数据仍然可以从市场上获得 则，而 ,, 都可以通过经济数据计算得出，于是，将结果带入，得到，这个结果太夸张了。即是我们认为， 也非常诡异。

美国的资产溢价之谜的本质就是太高，完全不符合实情。

可能的经济学解释：
1、消费增长相对于股票的收益过于平滑；
2、消费增长与股票的收益的相关性还是太低，潜台词是：消费增长了，股票的收益增长并没有那么相关(老百姓在消费增长时，为什么不去买股票？) 那为什么的值不能太高呢？为何太高就违反经济学直觉？

1、 将导致  ，而无风险收益并不高啊！！！
2、值越高表示的是投资者的风险厌恶程度， 经济学家一般认为该值小于3比较合理。

我们举个例子。

为了避免在同等概率的情况下获得或失去一份财富的风险，你愿意支付多少份额的财富？(在CRRA下，答案不取决于财富水平)。

由此可见，gamma值仍然非常的不正常........

(待续未完)