Python大本营每日一课

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数据分析中违背常理的悖论：辛普森悖论

DAY03

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在现实生活中，我们常常会遇到这样一种现象，当尝试研究两个变量是否具有相关性的时候，会分别对此进行分组研究。

然而，在分组比较中都显示非常有优势的一方，在总评时却成了失势的一方。直到 1951 年，英国统计学家 E.H.辛普森发表论文对此现象做了描述解释，后来人们就以他的名字命名该现象，即辛普森悖论。

思考下，辛普森悖论为什么成立？

辛普森悖论的原理

下面给出辛普森悖论的数学原理：

从数学表达式上，我们可以看出，对 a、b、c、d 四个变量，分成 1 组和 2 组，在 1 组比率占优势的情况下，总体占优势却不成立。

看一个例子：抖音 6 月与 7 月活跃人群得活跃时长对比，发现男性活跃时长上升，女性也上升，但是整体上 7 月活跃时长比 6 月降低是什么原因？

从数学表达式上，我们可以看出，对 a、b、c、d 四个变量，分成 1 组和 2 组，在 1 组比率占优势的情况下，总体占优势却不成立。

看一个例子：抖音 6 月与 7 月活跃人群得活跃时长对比，发现男性活跃时长上升，女性也上升，但是整体上 7 月活跃时长比 6 月降低是什么原因？

为了让结果更直观，我做了一个数据图，不是很标准，但是足以解释。

假设 6 月，活跃男生占比 20%，使用平均时长 1.2h；活跃女生占比 80%，使用平均时长 1.5h，则可以计算 6 月整体使用时长为 1.44h。同理，假设 7 月，活跃男生占比 60%，使用平均时长 1.3h；活跃女生占比 40%，使用平均时长 1.6h，则可以计算 7 月整体使用时长为 1.42h。

这样就可以非常清晰地看出，7 月比 6 月男女生的平均观看时长确实增加了，但是整体的反而降低，问题出现在活跃男女生的比例上。

所以，上述抖音案例的解释，应该是 6 月活跃人群女性占比较大，而七月男生占比较大，虽然 7 月男女生观看时长都增长了，但是由于一天 24 小时，除掉工作吃饭睡觉时间，男女生活跃时长的提升幅度并不是很大，这样就导致，虽然 7 月男女生活跃观看时长都有提升，但是整体 7 月的活跃时长低于 6 月，本质还是活跃人群结构男女比例发生变化。

所以在运营的时候，在活跃时长增长幅度有限的条件下，如果想增加整体的时长，先保证人群结构中女生占较大比例，再引导男女行增长活跃时长。

如何避免出现辛普森悖论

关于如何避免出现辛普森悖论，我个人觉得，辛普森悖论无法完全避免的，很多问题，完全依靠统计学推导因果关系无法实现。就拿生产环境数据来说，虽然我们做了各种画像，但是其他分类方式依然存在，理论上的潜在变量会无穷无尽。

我们能做的，就是仔细认真地研究各种影响因素，不要笼统概括地看问题，尤其数据分析问题，拆解得越细，最终得到的效果越好。

关于避免辛普森悖论的出现，目前比较流行的一种做法，就是需要斟酌个别分组的权重，以一定的系数去消除以分组资料基数差异所造成的影响，同时必须了解该情境是否存在其他潜在因素，需要进行综合性考虑。

这段话看完有点晕圈，在实际中斟酌权重和判断其他因素，大多数还是更多依赖经验。

虽然不能根本上避免辛普森悖论，但我们至少应该明白：在因果关系里，量与质是不等价的，但是量比质更容易测量，所以人们总是习惯用量来评定好坏，而该数据却不是重要的。

倒过来说辛普森悖论

前面讲的辛普森悖论是：在每个分组中占优势的一方，但整体总评却成了失势的一方。那倒过来说辛普森悖论，就是在总体中占优势的一方，在每个分组比较中反而都占劣势。

下面介绍一个案例，假设，某产品的推广渠道有头条和微信两种，头条整体的付费转化率是 3.1%，微信整体的付费转化率是 1.38%，连头条转化率的一半都不到。于是有数据分析师得出结论：微信用户付费转化率较低，建议停止微信端的广告投放。

你认为这个分析师做的对吗？

我们先来看看，头条和微信整体转化率对比情况，头条的确实比微信转化率要高：

但是，正常情况下，微信的广告包括微信公众号和微信朋友圈两部分，我们把微信的数据量拆开来对比：

这里，我们会惊奇地发现，原来朋友圈的转化率是最高的 4.12%，而微信公众号的转化率很低，但是展示量很大，把整个微信的值拉低了。也可以说，那个分析师失误了，误区产生的原因就在于将“值与量”两个维度的数据，归纳成了“值”一个维度的数据，并进行了合并。

如果要避免“辛普森悖论”给我们带来的误区，就需要斟酌个别分组的权重，以一定的系数去消除因分组资料基数差异所造成的影响。

而在实际工作中，就需要尽量去拆解指标，采用 MECE 原则，指标维度互不重复，完全穷尽。

内容延伸

我们继续理解一个概念：基本比率谬误（base rate fallacy）。

先看一个例子，小易生病去医院，做完检查结果呈阳性，医生告诉他可能是患上了 XX 疾病，吓得他惊慌失措，冷静之余，他赶忙到网上查询资料，网上说检查总是有误差的，这种检查有“百分之一的假阳性率和百分之一的假阴性率”。

这句话的意思是说，在得病的人中做实验，有 1% 的人是假阳性，99% 的人是真阳性。而在未得病的人中做实验，有 1% 的人是假阴性，99% 的人是真阴性。

于是，小易根据这种解释，估计他自己得了 XX 疾病的可能性（即概率）为 99%。可是，医生却告诉他，他被感染的概率只有 0.09 左右。这是怎么回事呢？

医生说：你忘了一件事，XX 病在人口中的得病基本比例（1/1000）这个事实。

医生给出计算方法：因为测试的误报率是 1%，1000 个人将有 10 个被报为“假阳性”，而根据 X 病在人口中的比例（1/1000=0.1%），真阳性只有 1 个。所以，大约 11 个测试为阳性的人中只有一个是真阳性（有病）的，因此，小易被感染的几率是大约 1/11，即 0.09（9%）。

基本比率谬误数学解释，首先要回顾下贝叶斯定理：

P(A|B) = \frac{P(B|A)}{P(B)}P(A)

P(A∣B)=P(B)

P(B∣A)

P(A)

从贝叶斯定理的原理，解释小易被感染的几率就计较容易了。

• A：普通人群中的小易感染 XX 病

• B：阳性结果

• P(A)：普通人群中感染 X 病的概率

• P(B|A)：阳性结果的概率

• P(A|B)：有了阳性结果条件下，小易感染 XX 病的概率

• P(B)：结果为阳性的总可能性 = 检查阳性中的真阳性 + 检查阴性中的真阳性

类似的悖论，还有罗杰斯现象、伯克森悖论、生日悖论等。

总结

本文介绍了数据分析容易犯的一个误区，辛普森悖论。上面的例子也告诉我们，统计学中有不少陷阱，如果不提前进行了解，工作中很可能会被错误的统计方法迷惑，得出不正确的结论。

辛普森悖论让我们明白了，在因果关系里，量与质是不等价的，但是量比质更容易测量，所以人们总是习惯用量来评定好坏，而该数据却不是重要的。

辛普森悖论带给我们的另外一个启示是：如果我们在人生的抉择上选择了一条比较难走的路，就得具备可能不被赏识、怀才不遇的心理准备。

明日分享预告：数据分析的本质是什么？

本期专栏内容均来自GitChat《数据分析面试剖析24讲》专栏内容，作者：宿永杰，某著名互联网公司数据挖掘工程师，如需了解专栏详情，可扫描下方二维码。

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