错位排列超详解(组合数学)

错位排列

全错位排列最经典的问题是装错信封问题。

我们把信封问题转换一下：

对于1−n1-n1−n 共n个数字组成的序列中，每个数字仅出现一次，求每个数字跟位置完全不对应的总方案数。

对于第一个位置上的数字1它有 n−1n-1n−1 种方案数
对于第二个位置上的数字2有两种放法：
①.放到1的位置上：
这时候就是已经把1和2放置好，剩下n−2n-2n−2个位置dp[n−2]dp[n-2]dp[n−2]

②.放到后面n−2n-2n−2个位置上
这种情况其实就转换到了放数字1的情况(只是总数减一)
它就相当于数字1已经放好了还剩下n−1n-1n−1个位置和n−1n-1n−1个数，数字2不能在位置1处，也就是dp[n−1]dp[n-1]dp[n−1]的状态。

初始化状态：dp[1]=0(只有一个数字)，dp[2]=1(两个数字)dp[1]=0(只有一个数字)，dp[2]=1(两个数字)dp[1]=0(只有一个数字)，dp[2]=1(两个数字)
转移：第i个数有i−1i-1i−1种方案，会转移到两种状态。
dp[i]=(i−1)∗(dp[i−1]+dp[i−2]);dp[i]=(i-1)*(dp[i-1]+dp[i-2]);dp[i]=(i−1)∗(dp[i−1]+dp[i−2]);

实现代码：dp[i]表示i个数错位排列的方案数dp[i]表示i个数错位排列的方案数dp[i]表示i个数错位排列的方案数

 dp[1] = 0; dp[2] = 1;for(int i=3; i<=maxn; i++){dp[i] = (i-1) * (dp[i-1] + dp[i-2]) % mod;}

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