python计算球体体积_漫谈超球体的体积公式

现实生活中，我们只要掌握圆的周长和面积公式，了解球的表面积和体积公式就够用了，没有什么可以深究的。本篇将带你走进高维度球的表面积和体积公式

以下都假设球的半径为r，表面积为S，体积为V。球心为坐标原点O，具有n个维度的点X坐标为

$(x_1, x_2, \cdots, x_n)$ ，球内任意一点X，都满足距离条件

$distance(O, X) \le r$ 。

对于向量空间，距离测度分多种：

１范式　曼哈顿距离（Ｍanhattan distance）

$\sum _{i = 1} ^n |x_i - y_i|$ ，

２范式　欧几里德距离（Euclidean distance）

$\sqrt{\sum _{i = 1} ^n (x_i - y_i)^2}$ ，

n范式

$\big(\sum _{i = 1} ^n | x_i - y_i|^p \big)^{\frac 1 p}$

$\infty$ 范式　切比雪夫距离（ Chebyshev distance）　

$\max _{i = 1} ^n |x_i - y_i|$ 。

超立方体

无穷大范式最简单，我们先作讨论。所有维度上的坐标的绝对值不超过r，这样的形状是一个边长为2r的超立方体。超（hyper，不是super）是一个泛化的概念，用以延伸到所有的维度上。

超立方体的各个轴都是正交的，所以体积

$\int _\Omega dV$ 上的积分等于在各个轴上的长度的乘积，即

$(2r)^n$ 。

$V_n = \int _{-r} ^{r} \cdots \int _{-r} ^{r} \int _{-r} ^{r} dx_1 dx_2 \cdots dx_n = \big ( \int _{-r} ^r dx \big)^n = (2r)^n$

每个轴都有左右两个超平面限定，于是n维体有2n个面。在向高维扩展时，n维球的“体”就会沦落为n+1维球的“面”。我们有

$S_n = 2n \, V_{n -1}$ ，然后连同上面的式子，我们得到

$S_n = 2n (2r)^{n - 1}$ 。可以对着正方形和正方体检查一下，是符合的。对于一维情况，“体”就是线长

$V_1 = 2r$ 无疑。但是根据公式，“面”

$S_1 = 2$ ，与半径无关，没有量纲。有点奇怪，相当于零维空间点的左右两个面？

超锥体

在曼哈顿距离下，

$\sum _{i = 1} ^n |x_i| \le r$ 构成什么形状呢？可以从低维度入手。一维情况下是一条直线，二维情况下是一个围住

$(\pm r, 0), (0, \pm r)$ 的正四边形，或者倾斜的正方体。三维情况下是正八面体，与各轴的交点是

$(\pm r, 0, 0), (0, \pm r, 0), (0, 0 \pm r)$ 。同理，n维情况下的交点是

$(\pm r, 0, \cdots, 0), (0, \pm r, \cdots, 0), \cdots, (0, 0, \cdots \pm r)$ 构成超多面体，每个轴上有左右两个交点，每个轴上选一个交点，张成一个超平面。仅考虑正半轴，则形状分别是三角形，三角锥，四角锥，……超角锥。超角锥的体积公式是

$\frac 1 n x_1 x_2 \cdots x_n$

$2^n$ 个超角锥，每个超角锥的体积为

$\frac 1 n {r^n}$ ，于是体积公式就是

$V_n(r) = \frac {2^n} n r^n$ 。

超球体

最后，我们来看一下常用的欧几里德距离——平方和后再开方。

先回忆一下公式：

圆的周长、面积公式

$S_2 = 2 \pi r, V_2 = \pi r^2$

球的表面积、体积公式

$S_3 = 4 \pi r^2, V_3 = \frac 4 3 \pi r^3$

根据上面的结论，一维球的“体”是二维球的“面”，对于一维球而言，其体积就是直线长度（类比二维球，即圆的周长），

$V_1 = 2r$ 。

关于圆的公式都涉及到

$\pi$ ，结合上面超体的结论，再从量纲上分析，我们可以先大胆地推测

$S_n = C \pi r^{n - 1},\, V_n = K \pi r^n$ ，其中 C, K为待求的常数。

我们可以选取笛卡尔坐标系或极坐标系，笛卡尔坐标系下的式子比较繁琐。

$V(r) = \int _{-r} ^{r} \int _{-\sqrt{r^2 - x_1^2}} ^{\sqrt{r^2 - x_1^2}} \cdots \int _{-\sqrt{r^2 - x_1^2 - \cdots - x_{n - 1}^2}} ^{\sqrt{r^2 - x_1^2 - \cdots - x_{n - 1}^2}} dx_n \cdots dx_2 dx_1$

转化成极坐标系，就是

$V(r) = \int _{0} ^{r} \int _{0} ^{2\pi} \int _{-\pi/2} ^{\pi/2}\cdots \int _{-\pi/2} ^{\pi/2} \int _{-\pi/2} ^{\pi/2} r^{n - 1} \sin^{n - 2} \theta_1 \cdots \sin \theta_1 d\theta_1 \cdots d\theta_{n-2} d\theta_{n-1} d\rho$

从一个空间映射到另一个空间，或者从一个坐标系变换到另一个坐标系，需要乘以雅可比矩阵（ Jacobi matrix ）。

球是中心对称的，由n维球

$x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \le r^2$ 移项得

$x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_{n - 1}^2 \le r^2 - x_n^2$ ，如果固定

$x_n$ （切片操作），就得到n-1维半径为

$\sqrt { r^2 - x_n^2}$ 的球，我们根据这个思想n维球的任意切片都是n-1维球，在

$X_n$ 轴上平行切片，体积累加起来。对于3维球，每个切片薄得可以看成一个个半径为

$\sqrt { r^2 - x_3^2}$ 圆柱体，

$V_n(r) = \sum _{x_n = -r} ^{+r} V_{n - 1}(\sqrt { r^2 - x_n^2}) \Delta x_n$ ，换成积分得到体积递推公式：

$V_n(r) = \int _{-r} ^{r} V_{n - 1}(\sqrt { r^2 - x^2}) \mathrm{d} x$

$V_n(r) \propto r^n$ 这个结论可以通过数学归纳法来证明。

$V_{n}(r) = V_{n - 1}(r) \int _{-r} ^{r} \big(\sqrt { 1 - (\frac x r)^2} \big)^{n -1} \mathrm{d} x$

基于被积函数是偶函数，缩小积分范围为

$V_{n}(r) = 2 V_{n - 1}(r) \int _{0} ^{r} \big(\sqrt { 1 - (\frac x r)^2} \big)^{n -1} \mathrm{d} x$

然后令

$u = (\frac x r)^2$ ，则

$x = r\sqrt u,\, dx = r \frac {du} {2\sqrt{u}}$ ，换元得

$V_{n}(r) = 2V_{n - 1}(r) \int _{0} ^{1} (1 -u) ^{\frac {n -1} 2} r \frac {du} {2\sqrt{u}}$

整理一下

$V_{n}(r) = V_{n - 1}(r) \cdot r \int _{0} ^{1} (1 -u) ^{\frac {n -1} 2} u^{-\frac 1 2}du$

积分是Beta函数形式，Beta函数的定义为

$B(p + 1, q + 1) = \frac {p! \, q!} {(p + q + 1)!} = \int _0 ^1 x^p (1 - x)^q dx$

于是，

$V_{n}(r) = V_{n - 1}(r) \cdot r \cdot B(\frac {n + 1} 2, \frac 1 2)$

Beta函数与Gamma函数存在关系

$B(m, n) = \frac {\Gamma(m) \Gamma(n)} {\Gamma(m +n)}$

$B(\frac {n + 1} 2, \frac 1 2) = \frac {\Gamma(\frac {n + 1} 2) \Gamma(\frac 1 2)} {\Gamma(\frac n 2 + 1)}$

Gamma函数的定义

$\Gamma(x) = \int _0 ^\infty e^{-t}t^{x - 1}dt$ ，性质

$\Gamma(x + 1) = x \Gamma(x)$

$\Gamma(\frac 1 2) = \int _0 ^\infty e^{-t}t^{-\frac 1 2}dt \,\ \underrightarrow{t = x^2} \int _0 ^\infty 2e^{-x^2}dx$

到这里就是常见的一类积分了，同济大学高等数学教材有讲过高斯分布。平方后转换成平面直角坐标系二重积分，然后转换成极坐标系求解，用这样巧妙的方法得到

$\int _0 ^\infty e^{-x^2}dx = \frac {\sqrt \pi} 2$

带入常数

$\Gamma(\frac 1 2) = \sqrt \pi$ 得

$V_{n}(r) = V_{n - 1}(r) \cdot \sqrt \pi r \frac {\Gamma(\frac {n + 1} 2)} {\Gamma(\frac {n + 2} 2)}$

通过一系列的迭代，Gamma函数分子分母相消，

$V_{n}(r) = V_{1}(r) (\sqrt \pi r)^{n - 1} \frac {\Gamma(\frac 3 2)} {\Gamma(\frac {n + 2} 2)}$

带入

$V_1(r) = 2r$ 和

$\Gamma(\frac 3 2) = (\frac 3 2 - 1) \Gamma(\frac 1 2) = \frac {\sqrt \pi} 2$ 得

$V_{n}(r) = 2r (\sqrt \pi r)^{n - 1} \frac {\frac 1 2 \sqrt \pi} {\Gamma(\frac {n + 2} 2)} = \frac {(\sqrt \pi r)^n} {\Gamma(\frac n 2 + 1)}$ 。

很显然有

$V_n(r) = V_n(1) \cdot r^n$ 。

三角函数积分

$V_n(r) = \int _{-r} ^{r} V_{n - 1}(\sqrt { r^2 - x^2}) \mathrm{d} x = \int _{-r} ^{r} V_{n - 1}(1) \cdot (\sqrt { r^2 - x^2})^{n - 1} \mathrm{d} x$

由于

$V_{n - 1}(1)$ 是相对x而言是常量，可以移到积分式子外面去。加上被积的函数是偶函数，我们有

$V_n(r) = 2V_{n - 1}(1) \int _{0} ^{r} (\sqrt { r^2 - x^2})^{n - 1} \mathrm{d} x$ 。

换元，设

$x = r \sin \theta$ ，则

$V_n(r) = 2V_{n - 1}(1) \cdot r^n \int _{0} ^{\pi / 2} \cos^{n}\theta \mathrm{d} \theta$ ；

你也可以

$x = r \cos \theta$ ，则

$V_n(r) = 2V_{n - 1}(1) \cdot r^n \int _{0} ^{\pi / 2} \sin^{n}\theta \mathrm{d} \theta$ 。

好了，这一节的主角登场了。求积分

$\int \sin^{n}\theta d \theta$ 或者

$\int \cos^{n}\theta d \theta$ 。

n取1或2时容易求解，这引导着我们用分部积分法（integration by parts ）

$\int udv = uv - \int vdu$ 达到降次的效果。

$I_n = \int \sin^{n}\theta d \theta = -\int \sin^{n - 1}\theta d \cos \theta = -\sin^{n - 1}\theta \cos \theta + \int \cos \theta d(\sin^{n - 1}\theta)$

$I_n = -\sin^{n - 1}\theta \cos \theta + (n - 1) \int \sin^{n - 2}\theta \cos^2 \theta d\theta$

带入

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ ，然后化简

$I_n = -\sin^{n - 1}\theta \cos \theta + (n - 1) \int (\sin^{n - 2}\theta - \sin^n \theta) d\theta$

$I_n = -\sin^{n - 1}\theta \cos \theta + (n - 1) (I_{n - 2} - I_n)$

$nI_n = -\sin^{n - 1}\theta \cos \theta + (n - 1) I_{n - 2}$

得到递推公式

$I_n = -\frac 1 n \sin^{n - 1}\theta \cos \theta + \frac {n - 1} n I_{n - 2}$ 。

接着，限定下上限分别为0和

$\pi / 2$ ，在边界，因为

$\sin \theta$ 和

$\cos \theta$ 总有一个为0，导致第一项的结果总是为0，于是得到更简单的递推形式

$I_n = \frac {n - 1} n I_{n - 2}$ ，然后分奇数、偶数迭代求解。

如何体面

球可以由半径逐渐递增的壳来填充，类似俄罗斯套娃。当填充的壳的厚度趋近于0时，我们就得到球的体积。由于球、球面的各向同性，球面上任何一个微元（facet）都可以近似看成平面，其体积为

$dS_n \cdot dr$ ，球面的体积为

$S_n(r) \cdot dr$ ，积分得

$V_n(r) = \int _0 ^r S_n(t) \mathrm{d}t$ ，反之

$S_n(r) = \frac {dV_n} {dr}$ 。对n维球的体积求导得n维球的表面积，这样也解释了对圆面积

$\pi r^2$ 求导得圆周长

$2 \pi r$ ，对球体积

$\frac 4 3 \pi r^3$ 求导得球表面积

$4 \pi r^2$ 。

$V_n(r) = \frac {\pi^{\frac n 2}} {\Gamma(\frac n 2 + 1)} r^n$

$S_n(r) = \frac {dV} {dr} = \frac {\pi^{\frac n 2}} {\Gamma(\frac n 2 + 1)} n \cdot r^{n - 1} = \frac {\pi^{\frac n 2}} {\frac n 2 \Gamma(\frac n 2)} n \cdot r^{n - 1} = \frac {2\pi^{\frac n 2}} {\Gamma(\frac n 2)} \cdot r^{n - 1}$

通过求导，我们很体面地从“体”计算出“面”。（no pun intended）

其实，体积与面积之间还存在这样一个比例关系

$\frac {V_n(r)} {S_n(r)} = \frac {C \, r^n} {Cn \, r^{n - 1}} = \frac r n$ 。

公式细究

Γ函数有很多的性质，是符合整数点阶乘运算的最佳连续函数。

当

$n$ 为偶数时，令

$n = 2m$ ，则

$V_{2m}(r) = \frac {\pi^m} {m!} r^{2m}$ ；

当

$n$ 为奇数时，令

$n = 2m + 1$ ，则

$V_{2m+1}(r) = \frac{2 (2 \pi)^m} {(2m+1)!!} r^{2m+1}$ 。

当

$r = 1$ 时，

$V_{2m} = \frac {\pi^m} {m!}$ ，这个系数很是熟悉，根据 Taylor 级数展开式

$e^x = \sum _{i = 0} ^n \frac 1 {i!} x^i = 1 + x + \frac 1 {2!} x^2 + \frac 1 {3!} x^3 + \cdots + \frac 1 {n!} x^n$ 凑一下，有

$V_0 + V_2 + \cdots + V_{2m} = \sum _{i = 0} ^{m} V_{2i} = e^\pi$ 。看！我们就这样构造到了一个神奇的数字

$e^\pi$ 。半径取1的所有偶数维度球的体积之和为

$e^\pi$ 。

$e^\pi$ 是个超越数（Transcendental Number）。

有了公式之后，任意维度的体积

$V_1(r) = 2r,\, V_2(r) = \pi r^2$

$V_3 (r) = \frac 4 3 \pi r^3,\, V_4(r) = \frac 1 2 \pi^2 r^4$

$V_5(r) = \frac 8 {15} \pi^2 r^5,\, V_6(r) = \frac 1 6 \pi^3 r^6$

$V_7(r) = \frac {16} {105} \pi^3 r^7,\, V_8(r) = \frac 1 {24} \pi^4 r^8$

$V_9(r) = \frac {32} {945} \pi^4 r^9,\, V_{10}(r) = \frac 1 {120} \pi^5 r^{10}$

对于n维单位球，我们用matplotlib画一下体积V关于维度n的函数图。

#!/usr/bin/env python3

import matplotlib

import numpy as np

import scipy

import matplotlib.pyplot as plt

from scipy.special import gamma

# For unit sphere of dimension n, the volume is

# V_n = \frac {\pi^{\frac n 2}} {\Gamma(\frac n 2 + 1)}

t0 = -5.0

t1 = 20.0

t = np.arange(t0, t1, 0.1)

V = np.pi ** (t / 2.0) / gamma(t / 2.0 + 1.0)

n = np.arange(t0, t1, 1.0)

V_n = np.pi ** (n / 2.0) / gamma(n / 2.0 + 1.0)

figure, ax = plt.subplots()

ax.plot(t, V)

ax.plot(n, V_n, color='green', marker='o', linestyle='')

ax.set_xlabel('n (dimensionality)')

ax.set_ylabel('C_n m^n')

ax.set_title('volume of n dimensional unit sphere')

ax.grid()

figure.savefig("volume.png")

plt.show()

需要安装numpy, scipy, matplotlib这三个Python库，没安装的可以安装一下，以后科学计算和作图用得到的。控制台下输入命令 pip3 install numpy, scipy, matplotlib。代码运行无误后，得到图：

上面顺带也画出了负维空间的情况。从正整数维度到分数维度，再到负数维度，一直扩充到了实数范围。从图中看到，对于单位球，五维空间的体积最大。五维空间是什么概念？不清楚。克里斯托弗·诺兰是一个商业和艺术结合最好的导演，他在电影《星际穿越》中向我们描述了一个五维空间的存在。

固定半径r，我们可以看到，随着n的增长，分母以越来越大的正整数增加，分子以系数

$\sqrt \pi$ 稳定增长，不敌增长的最终结果是，体积趋近于0。分析是没错，但这是一个反直觉（counter-intuitive）的结论。下面的图可以帮忙纠正错觉。

维度越高，越靠近坐标轴。很形象的一个比喻就是海胆，核越来越小，刺突越来越长，也越来越尖。想看动画效果？可以观察

$|x|^p + |y|^p = 1,\, p > 0$ 在平面直角坐标新中，p从无穷大到０，图形的变化。顺便，维度灾难

参考

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