统计|如何观测两变量之间的相关系数及含义
本博文源于《商务统计》。旨在讲述如何从两个变量之间观察相关系数。
相关系数简介
- 对变量之间关系密切程度的度量
- 对两个变量之间线性相关的程度的度量称为简单相关系数
- 若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为相关系数，记为ρ\rhoρ
相关系数的计算公式
样本相关系数的计算公式
r=∑(x−xˉ)(y−yˉ)∑(x−xˉ)2⋅∑(y−yˉ)2r=\frac{\sum(x-\bar{x})(y-\bar{y})}{\sqrt{\sum(x-\bar{x})^2·\sum(y-\bar{y})^2}} r=∑(x−xˉ)2⋅∑(y−yˉ)2∑(x−xˉ)(y−yˉ)
相关系数的意义取值
相关系数的性质
- r的取值范围是[-1,1]
- ∣r∣=1|r|=1∣r∣=1,为完全相关;r=1,为完全正相关;r=-1，为完全负相关
- r=0,不存在线性相关关系
- −1≤r<0,为负相关；0<r≤1，为正相关-1\le{r}\lt0,为负相关；0\lt{r}\le{1}，为正相关−1≤r<0,为负相关；0<r≤1，为正相关
- |r|越趋于1表示关系越密切，|r|越趋于0表示关系不密切
- 一般可按照三级划分：∣r∣<0.4为低度线性相关，0.4≤∣r∣<0.7,为显著相关,0.7≤∣r∣<1,高度线性相关.|r|<0.4为低度线性相关，0.4\le{|r|}\lt0.7,为显著相关,0.7\le{|r|}\lt1,高度线性相关.∣r∣<0.4为低度线性相关，0.4≤∣r∣<0.7,为显著相关,0.7≤∣r∣<1,高度线性相关.
- r具有对称性。即x与y之间的相关系数和y与x之间的相关系数相等，即rxy=ryxr_{xy}=r_{yx}rxy=ryx
- r数值大小与x和y的单位无关
- 仅仅是x与y之间线性关系的一个度量，它不能用于描述非线性关系。这意味着，r=0只表示两个变量之间存在线性相关关系，并不说明变量之间没有任何关系
- r虽然是两个变量之间线性关系的一个度量，却不一定意味着x与y一定有因果关系.
相关系数的假设检验步骤
提出假设
H0:ρ=0;H1:ρ≠0H_0:\rho=0;H_1:\rho\neq0 H0:ρ=0;H1:ρ=0
也就是原假设两变量之间无关系，备择假设存在关系，是不理会正相关还是负相关。因此这是双尾检验。
计算检验的统计量
t=rn−21−r2∼t(n−2)t=r\sqrt{\frac{n-2}{1-r^2}}\sim{t(n-2)} t=r1−r2n−2∼t(n−2)
n是样本数量，r就是这个。
r=∑(x−xˉ)(y−yˉ)∑(x−xˉ)2⋅∑(y−yˉ)2r=\frac{\sum(x-\bar{x})(y-\bar{y})}{\sqrt{\sum(x-\bar{x})^2·\sum(y-\bar{y})^2}} r=∑(x−xˉ)2⋅∑(y−yˉ)2∑(x−xˉ)(y−yˉ)
确定显著性水平α\alphaα
- 若∣t∣>tα2，拒绝H0|t|\gt{t_{\frac{\alpha}{2}}}，拒绝H_0∣t∣>t2α，拒绝H0
- 若∣t∣<tα2，不能拒绝H0|t|\lt{t_{\frac{\alpha}{2}}}，不能拒绝H_0∣t∣<t2α，不能拒绝H0
例子：身高与体重的相关系数的假设检验
提出假设
H0:ρ=0;H1:ρ≠0H_0:\rho=0;H_1:\rho\neq0 H0:ρ=0;H1:ρ=0
计算检验的统计量
t=0.72366−21−0.72362=2.0967t=0.7236\sqrt{\frac{6-2}{1-0.7236^2}}=2.0967 t=0.72361−0.723626−2=2.0967
判断决策
总结
相关系数是衡量两个变量之间是否存在相关，如果接近于1那就相关，如果小于0那就负相关。采取的假设检验是t检验。
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