积分上限函数求导总结

2024-05-15 23:33:39

情形一：

ddx∫0xf(t)dt=f(x)\frac{\rm{d}}{{\rm d}\,x}\int_0^xf(t){\rm d}\,t=f(x)dxd∫0xf(t)dt=f(x)

情形二：

ddx∫0g(x)f(t)dt=f(g(x))g′(x)\frac{\rm{d}}{{\rm d}\,x}\int_0^{g(x)}f(t){\rm d}\,t=f(g(x))g'(x)dxd∫0g(x)f(t)dt=f(g(x))g′(x)

情形三：

ddx∫0xf(x−t)dt=令u=x−t=ddx∫x0f(u)d−u=ddx∫0xf(u)du=f(x)\begin{aligned} \frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_0^xf(x-t){\rm d}\,t&\xlongequal{{\text 令}u=x-t}\\ &=\frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_x^0f(u){\rm d}\,-u\\ &=\frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_0^xf(u){\rm d}\,u=f(x) \end{aligned}dxd∫0xf(x−t)dt令u=x−t=dxd∫x0f(u)d−u=dxd∫0xf(u)du=f(x)
不是每一道题都要像此处令 u=x−tu=x-tu=x−t，应根据实际情况做适当换元。

例一：

ddx∫0xtf(2x−t)dt=令u=2x−t−ddx∫2xx(2x−u)f(u)du=ddx2x∫x2xf(u)du−ddx∫x2xuf(u)du=2∫x2xf(u)du+4xf(2x)−2xf(x)−4xf(2x)+xf(x)=2∫x2xf(u)du−xf(x)\begin{aligned} \frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_0^xtf(2x-t){\rm d}\,t &\xlongequal{{\text 令}u=2x-t}-\frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_{2x}^x(2x-u)f(u){\rm d}\,u\\ &=\frac{\rm d}{{\rm d}x}2x\int_x^{2x}f(u){\rm d}\,u-\frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_x^{2x}uf(u){\rm d}\,u\\ &=2\int_x^{2x}f(u){\rm d}\,u+4xf(2x)-2xf(x)-4xf(2x)+xf(x)\\ &=2\int_x^{2x}f(u){\rm d}\,u-xf(x) \end{aligned}dxd∫0xtf(2x−t)dt令u=2x−t−dxd∫2xx(2x−u)f(u)du=dxd2x∫x2xf(u)du−dxd∫x2xuf(u)du=2∫x2xf(u)du+4xf(2x)−2xf(x)−4xf(2x)+xf(x)=2∫x2xf(u)du−xf(x)

例二：

ddx∫03x2ln⁡t+x2dt=令u=t+x2ddx∫x24x2ln⁡udu=8xln⁡2x−2xln⁡x\begin{aligned} \frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_0^{3x^2}\ln\sqrt{t+x^2}{\rm d}\,t&\xlongequal{{\text 令}u=t+x^2}\frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_{x^2}^{4x^2}\ln\sqrt{u}{\rm d}\,u\\ &=8x\ln2x-2x\ln x \end{aligned}dxd∫03x2lnt+x2dt令u=t+x2dxd∫x24x2lnudu=8xln2x−2xlnx

除此以外，还可以使用一个更加牛逼复杂的一个公式，具体可看下文

含参积分求导/积分上限函数求导/

2022年2月24日17:26:15

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