王二麻听说躺平国是一个非常神奇的地方。在躺平国里，有各种神奇的东西。比如：会说话的铁片，能够分拣垃圾的小狗，还有会唱京剧的电线杆子。

王二麻的表哥张三李是一个糙汉子，他前几年在国内混不下去了，一个人去了躺平国。那是一个快乐的国度，每一个人都可以躺平，或者做自己热爱的事情。

他们可以把日常的事物交给特点的躺平机处理。

王二麻也想去躺平国，但是在去躺平国的路上需要经历许许多多的困难。他非常的畏惧。

于是，张三李一直写信给王二麻，教张三李怎么样度过他路途中需要解决的困难，也会给王二麻讲躺平国的奇闻异事。

白沙天堑

张三李在给王二麻写的第一封信里面，讲了王二麻会遇到的第一个关卡: 白沙天堑。

白沙天堑是一个大峡谷，上面没有可以通行的桥梁。白沙天堑下面是白色河，白沙和里面白色的河沙是没有能够度过天堑的挑战者的白骨的细屑，所有没能通过白沙天堑的挑战者被躺平国称为——“小白沙雕”。

白沙天堑崖壁是平行的，这两个崖壁之间的距离会随机变化，但是崖壁旁边的石台上会展示两个崖壁上所有点满足的公式，并且提供一个可以跳跃宽度为 ddd 的 白沙靴。

为了能够安全的度过白沙天堑，挑战者必须能够计算出天堑的两个崖壁之间的距离。当崖壁之间的距离能够小于等于 白沙靴 的跳跃距离的时候，王二麻就可以拿出靴子跳过天堑。

1 崖壁的表示

为了更简单的描述问题，我们将两个崖壁描述为两个平行的超平面。

图 1 点到平面的距离

如上图1所示，为一个超平面 L1L_1L1, 对超平面上的每一个点x=(d1,d2,...,dn)∈Rnx=(d_1,d_2,...,d_n) \in R^nx=(d1,d2,...,dn)∈Rn 满足如下条件:
w⋅x+b=0w \cdot x + b = 0w⋅x+b=0
其中，www 为超平面 L1L_1L1 的法向量。

2 天堑距离的计算

假设，白沙天堑对应的两个崖壁表示的超平面分别为 LsL_sLs LeL_eLe, 其中LsL_sLs表示起跳超平面，LeL_eLe表示落地超平面。王二麻的目的就是为了从，LsL_sLs 跳到 LeL_eLe 那么我们需要计算两个超平面之间的距离 ddd 来判断跳跃是否成功。

首先，假设王二麻站定点的坐标为 SSS, 在超平面 LeL_eLe 上离他最近的落地点的坐标为 EEE。

设 LsL_sLs 满足公式:
w⋅x+b1=0w \cdot x + b_1 = 0w⋅x+b1=0
LeL_eLe 满足公式:
w⋅x+b2=0w \cdot x + b_2 = 0w⋅x+b2=0

那么:
d=∣SE→∣d = |\overrightarrow{SE}|d=∣SE∣
并且 SE→\overrightarrow{SE}SE 与平面的法向量平行。
∣w⋅SE→∣=∣w∣∣SE→∣=w12+w22+...+wn2d=∣∣w∣∣d(1)| w \cdot \overrightarrow {SE} | = |w| |\overrightarrow {SE}| = \sqrt {w_1^2 + w_2^2 + ... + w_n^2} d = ||w||d \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (1)∣w⋅SE∣=∣w∣∣SE∣=w12+w22+...+wn2d=∣∣w∣∣d(1)

并且
∣w⋅SE→∣=∣w0(S0−E0)+w1(S1−E1)+...+wn(Sn−En)∣=∣(w0S0+w1S1+...+wnSn+b1)−(w0E0+w1E1+...+wnEn+b2)−b1+b2∣=∣−b1+b2∣(2)| w \cdot \overrightarrow {SE} | = |w_0 (S_0-E_0) + w_1 (S_1-E_1) + ... + w_n(S_n-E_n)| \\ = |(w_0 S_0+ w_1S_1 + ... + w_n S_n + b_1) - (w_0 E_0+ w_1E_1 + ... + w_n E_n + b_2) - b1 + b2| \\ = |-b1 + b2| \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (2)∣w⋅SE∣=∣w0(S0−E0)+w1(S1−E1)+...+wn(Sn−En)∣=∣(w0S0+w1S1+...+wnSn+b1)−(w0E0+w1E1+...+wnEn+b2)−b1+b2∣=∣−b1+b2∣(2)

根据公式(1)和(2) 得到:
∣∣w∣∣d=∣−b1+b2∣||w||d = |-b1 + b2|∣∣w∣∣d=∣−b1+b2∣

那么两个平面的距离d=∣−b1+b2∣∣∣W∣∣d = \frac{|-b1 + b2|}{||W||} d=∣∣W∣∣∣−b1+b2∣

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躺平国历险记：两个超平面之间距离的计算

1 崖壁的表示

2 天堑距离的计算

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