条件期望

引入1

在概率空间上(Ω,F,P)(\Omega, \mathcal{F},P)(Ω,F,P)上，给定事件BBB，那么P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}P(A∣B)=P(B)P(A∩B)称为条件概率，令PB={P(A∣B):A∈F}P_B=\{P(A|B):A\in \mathcal{F} \}PB={P(A∣B):A∈F}，(Ω,F,PB)(\Omega, \mathcal{F},P_B)(Ω,F,PB)也构成概率空间，在这个概率空间中随机变量XXX求期望就是：
E(X∣B)=∫ΩXdPB=1P(B)∫BXdP.E(X|B)=\int_\Omega X dP_B=\frac{1}{P(B)}\int_B X dP. E(X∣B)=∫ΩXdPB=P(B)1∫BXdP.

引入2

如果条件G\mathcal{G}G具有可列个可测分割，原子记为{B1,B2,…,Bn,…}\{B_1, B_2,\dots, B_n, \dots\}{B1,B2,…,Bn,…}，那么条件期望E(X∣G)(ω)E(X|\mathcal{G})(\omega)E(X∣G)(ω)是一个随机变量。当ω∈B1\omega\in B_1ω∈B1时，E(X∣G)(ω)=E(X∣B1)E(X|\mathcal{G})(\omega)=E(X|B_1)E(X∣G)(ω)=E(X∣B1)，同理，因此可以写成
E(X∣G)(ω)=∑i=1∞E(X∣Bi)1Bi.E(X|\mathcal{G})(\omega)=\sum_{i=1}^{\infty}E(X|B_i)1_{B_i}.E(X∣G)(ω)=i=1∑∞E(X∣Bi)1Bi.

这里需要说明，如果ω1,ω2∈Bi\omega_1, \omega_2 \in B_iω1,ω2∈Bi，那么E(X∣Bi)(ω1)=E(X∣Bi)(ω2)E(X|B_i)(\omega_1)=E(X|B_i)(\omega_2)E(X∣Bi)(ω1)=E(X∣Bi)(ω2)，这是因为如果E(X∣Bi)(ω1)≠E(X∣Bi)(ω2)E(X|B_i)(\omega_1)\ne E(X|B_i)(\omega_2)E(X∣Bi)(ω1)=E(X∣Bi)(ω2)，设这两个值为c1,c2c_1, c_2c1,c2，那么Bi∩{ω:E(X∣Bi)=c1}B_i\cap \{\omega:E(X|B_i)=c_1\}Bi∩{ω:E(X∣Bi)=c1}和Bi∩{ω:E(X∣Bi)=c2}B_i\cap \{\omega:E(X|B_i)=c_2\}Bi∩{ω:E(X∣Bi)=c2}都是非空子集，和BiB_iBi是原子矛盾。

对于B=∑BiB=\sum B_iB=∑Bi，可以通过E(X∣G)(ω)E(X|\mathcal{G})(\omega)E(X∣G)(ω)求出来，具体的，
P(B)E(X∣B)=∫BXdP=∑∫BiXdP=∑E(X∣Bi)P(Bi)=∑i=1∞E(X∣Bi)1Bi1BP(Bi)=∫BE(X∣G)dP.P(B)E(X|B)=\int_BXdP=\sum\int_{B_i}XdP=\sum E(X|B_i)P(B_i)\\ =\sum_{i=1}^{\infty}E(X|B_i)1_{B_i}1_{B}P(B_i)=\int_BE(X|\mathcal{G})dP. P(B)E(X∣B)=∫BXdP=∑∫BiXdP=∑E(X∣Bi)P(Bi)=i=1∑∞E(X∣Bi)1Bi1BP(Bi)=∫BE(X∣G)dP.
第一、三个等号是条件期望的定义。
我们得到一个关系是对∀B∈G,\forall B \in \mathcal{G},∀B∈G,
∫BXdP=∫BE(X∣G)dP.\int_BXdP=\int_BE(X|\mathcal{G})dP. ∫BXdP=∫BE(X∣G)dP.
这便引出了描述性定义，和上面的定义是等价的。
若Z(ω)Z(\omega)Z(ω)在G\mathcal{G}G上可测，且满足上面的式子，那么就是条件期望。

一般情形

在一般情形下不能像上面那样找到一列原子分割，但是描述性定义仍然成立。条件期望作为随机变量，不在PPP的零测集上定义。

条件期望的性质

1、E[E[X∣G]]=EXE[E[X|\mathcal{G}]]=EXE[E[X∣G]]=EX
∫ΩE[X∣G]dP=∫ΩXdP=EX\int_\Omega E[X|\mathcal{G}]dP=\int_\Omega XdP=EX ∫ΩE[X∣G]dP=∫ΩXdP=EX
2、若X∈GX\in \mathcal{G}X∈G，则E[XY∣G]=XE[Y∣G]a.s.E[XY|\mathcal{G}]=XE[Y|\mathcal{G}] a.s.E[XY∣G]=XE[Y∣G]a.s.
只考虑X=1B1,B1∈GX=1_{B_1},B_1\in \mathcal{G}X=1B1,B1∈G的情形，
∫BE[XY∣G]dP=∫B∩B1YdP=∫BE[Y∣G]dP=∫B∩B11B1E[Y∣G]dP\int_BE[XY|\mathcal{G}]dP=\int_{B\cap {B_1}}YdP=\int_{B}E[Y|\mathcal{G}]dP=\int_{B\cap {B_1}}1_{B_1}E[Y|\mathcal{G}]dP ∫BE[XY∣G]dP=∫B∩B1YdP=∫BE[Y∣G]dP=∫B∩B11B1E[Y∣G]dP
由条件期望在a.s.a.s.a.s.下的唯一性得到：
1B1E[Y∣G]=E[1B1Y∣G]a.s.1_{B_1}E[Y|\mathcal{G}]=E[1_{B_1}Y|\mathcal{G}]\ a.s. 1B1E[Y∣G]=E[1B1Y∣G] a.s.
3、若H⊂G\mathcal{H}\subset\mathcal{G}H⊂G，则E[X∣H]=E[E(X∣G)∣H]=E[E(X∣H)∣G]E[X|\mathcal{H}]=E[E(X|\mathcal{G})|\mathcal{H}]=E[E(X|\mathcal{H})|\mathcal{G}]E[X∣H]=E[E(X∣G)∣H]=E[E(X∣H)∣G]
对于∀A∈H\forall A \in \mathcal{H}∀A∈H
∫AE[E(X∣G)∣H]dP=∫AE(X∣G)dP=∫AXdP=∫AE[X∣H]dP\int_AE[E(X|\mathcal{G})|\mathcal{H}]dP=\int_AE(X|\mathcal{G})dP=\int_AXdP=\int_AE[X|\mathcal{H}]dP ∫AE[E(X∣G)∣H]dP=∫AE(X∣G)dP=∫AXdP=∫AE[X∣H]dP
对于第二个等号，E(X∣H)∈GE(X|\mathcal{H})\in \mathcal{G}E(X∣H)∈G，因此直接脱出。

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