1883年，德国数学家康托尔向人们展示了这样一个非常怪异的集合。考虑由0到1之间的所有实数构成的区间[0,1]，把它平分成三段，并去掉中间那一段开区间(1/3,2/3)。这样，剩下的集合是两个剩余区间的并集，即[0,1/3]∪[2/3,1]。接下来，把每个区间都再次分成三段并挖掉中间那段开区间，于是便得到了由四个更小的剩余区间构成的集合[0,19]∪[29,13]∪[23,79]∪[89,1]。继续在每个区间中挖掉中间三分之一，并无限地这样做下去，最后剩下的数所组成的集合就叫作康托尔集。

康托尔集的构造过程

容易看出，每次挖掉各个区间的中间那一段之后，所有剩余区间的总长度将会变为原来的2/3。由于初始时区间的总长度为1，第n次操作之后所有剩余区间的总长度便只剩下(2/3)n。当n趋于无穷大时，(2/3)n将趋于0，可见康托尔集的“总长度”为0。

不过，这只能表明康托尔集内不含有任何区间，并不能表明康托尔集里不存在任何数。在生成康托尔集的过程中，由于每次挖掉的是一个开区间，各个剩余区间的端点都不会被挖掉，因而像1/3，2/3，1/9，2/9，7/9，8/9之类的数最终都将保留在康托尔集里。事实上，由于所有形如(1/3)n的分数都会保留下来，因而康托尔集里的数有无穷多个！更有趣的是，康托尔集中还包含了很多“端点值”以外的数。如图所示，用线段AB表示区间[0,1]，AʹBʹ表示区间[29,13]。如果点P满足AP:AB=AʹP:AʹBʹ的话，那么点P将始终以相同比例的位置留在越来越小的剩余区间中，永远也不会被挖掉。假设点P所代表的数是x，那么x应该满足x:1=(x−29):19，可以解得x=1/4。它也是康托尔集里的数。

端点以外的点，也可能在康托尔集内

尽管康托尔集里的数有无穷多，但直观上似乎应该比[0，1]区间中的实数少得多。然而令人惊奇的是，这是不对的，实际上康托尔集里的数和[0，1]区间里的实数一样多！它比看上去布满[0，1]区间的有理数要多得多！

为了说明这一点，我们把0到1之间的所有数都用三进制小数来表示。如果把这些数平均分成三段，那么它们正好依次是0到0.1之间的数，0.1到0.2之间的数，以及0.2到1之间的数。挖掉的中间那一段的数正好是小数点后第一位是1的那些数，而剩下的数都是那些小数点后第一位是0或者2的数。在下一步中，我们将挖掉每个区间的中间1/3，也就是所有小数点后第二位是1的数，剩下的数便都是那些小数点后第二位也是0或者2的数⋯⋯不断这样操作下去，最终留在康托尔集里的数，恰好就是那些只由0和2构成的三进制小数！比如1/4的三进制小数表达是0.020 202⋯，可见1/4确实属于康托尔集。另外，虽然1/3的三进制小数是0.1，1/9的三进制小数是0.01，但我们也可以把它们分别改写成无限循环小数0.022 22⋯和0.002 222⋯(这个道理和0.999⋯=1是一样的)，因此它们也在康托尔集里。

接下来，我们就能轻易地把康托尔集里的数与[0,1]区间里的所有实数一 一对应起来。对于康托尔集里的任意一个数，首先把它转化为三进制小数，把小数展开中的所有数字2变成数字1，再把新的小数当成是二进制小数，并重新转化回十进制，它就是[0,1]之间的某个实数。同样地，对于[0,1]区间的每一个实数，先把它写成二进制小数，再把所有的1都改写成2，并把它看作是一个三进制小数，它便成了康托尔集里的一个数。因此，康托尔集里的数和整个[0,1]区间里的实数之间存在一 一对应关系，两个集合里的数是一样多的！

康托尔集的“总长度”为0，但所含元素的个数竟然和实数区间一样多，这些奇异的性质迅速引起了数学家们的注意。在集合论、拓扑学、测度论、实分析、分形理论等各个数学分支中，康托尔集都扮演着重要的角色。