Chapter 12 IP Weighting and Marginal Structural Model

文章目录

12.1 The causal question
12.2 Estimating IP weights via modeling
12.3 Stabilized IP weights
12.4 Marginal structural models
12.5 Effect modification and marginal structural models
12.6 Censoring and missing data
Fine Point
- Setting a bad example
- Checking positivity
Technical Point
- Horvitz-Thomson estimators
- More on stabilized weights

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这一章介绍如何结合IP weighting 和参数模型.

12.1 The causal question

12.2 Estimating IP weights via modeling

我们知道, IP weighting:
I(Ai=a)Yif(Ai∣L),\frac{I(A_i=a)Y_i}{f(A_i|L)}, f(Ai∣L)I(Ai=a)Yi,
相当于创建了一个伪集合, 即假设所有的人都进行了A=aA=aA=a.
显然, 在这个伪集合中, A,LA,LA,L是相互独立的.
故我们有
Eps[Y∣A=a]=∑lE[Y∣A=a,L=l]Pr[L=l],\mathbb{E}_{ps}[Y|A=a]=\sum_l \mathbb{E} [Y|A=a,L=l] \mathrm{Pr}[L=l], Eps[Y∣A=a]=l∑E[Y∣A=a,L=l]Pr[L=l],
当同时满足条件可交换性的时候, 我们就能够得到
Eps[Y∣A=a]=E[Ya].\mathbb{E}_{ps}[Y|A=a] = \mathbb{E}[Y^a]. Eps[Y∣A=a]=E[Ya].
所以我们只需要估计E^ps[Y∣A=a]\hat{\mathbb{E}}_{ps} [Y|A=a]E^ps[Y∣A=a]即可.
自然地, 我们可以假设其符合
θ0+θ1A\theta_0 + \theta_1 A θ0+θ1A
的线性模型.
通过最小二乘法可以估计出上面的参数.
但是需要注意的是, 我们数据不是原始的数据, 而是在伪数据之上, 相当于每一个样本为
Yif(Ai∣L).\frac{Y_i}{f(A_i|L)}. f(Ai∣L)Yi.
记W=1/f(A=1∣L)W = 1 / f(A=1|L)W=1/f(A=1∣L), 以及它的估计W^\hat{W}W^(因为f(A∣L)f(A|L)f(A∣L)我们也是不知道的, 我们同样可以用参数模型进行估计), 故
E^ps[Y∣A=1]=1n∑Ai=1W^iYi.\hat{\mathbb{E}}_{ps}[Y|A=1] = \frac{1}{n}\sum_{A_i =1} \hat{W}_i Y_i. E^ps[Y∣A=1]=n1Ai=1∑W^iYi.

12.3 Stabilized IP weights

实际上, 我们不光可以设置W=1/f(A∣L)W=1 / f(A|L)W=1/f(A∣L), 实际上可以进一步为
pf(A∣L)\frac{p}{f(A|L)} f(A∣L)p
只需要满足ppp与LLL无关即可.
书上说这种方式的选择会使得最后估计的置信区间更窄也就是跟robust.

12.4 Marginal structural models

E[Ya]=β0+β1a.\mathbb{E}[Y^a] = \beta_0 + \beta_1 a. E[Ya]=β0+β1a.
注意到, 当满足条件可交换性的时候, 上面的推得的模型和这一节的是等价的.

12.5 Effect modification and marginal structural models

E[Ya∣V]=β0+β1a+β2Va+β3V.\mathbb{E}[Y^a|V] = \beta_0 + \beta_1 a + \beta_2 Va + \beta_3 V. E[Ya∣V]=β0+β1a+β2Va+β3V.
这个时候, 我们可以通过SWA(V)=f[A∣V]f[A∣V]SW^A (V) = \frac{f[A|V]}{f[A|V]}SWA(V)=f[A∣V]f[A∣V]来估计.

12.6 Censoring and missing data

只需考虑Ya,c=0Y^{a, c=0}Ya,c=0, 以及对应的W=WA×WCW = W^A \times W^CW=WA×WC,
WC=1/Pr[C=0∣L,A].W^C = 1 / \mathrm{Pr} [C=0 | L, A]. WC=1/Pr[C=0∣L,A].

Fine Point

Setting a bad example

Checking positivity

Technical Point

Horvitz-Thomson estimators

我们常常会用
E^[I(A=a)Yf(A∣L)]\hat{\mathbb{E}}[\frac{I(A=a)Y}{f(A|L)}] E^[f(A∣L)I(A=a)Y]
作为估计式子, 其等价于
E^[I(A=a)Yf(A∣L)]E^[I(A=a)f(A∣L)].\frac{\hat{\mathbb{E}}[\frac{I(A=a)Y}{f(A|L)}]} {\hat{\mathbb{E}}[\frac{I(A=a)}{f(A|L)}]}. E^[f(A∣L)I(A=a)]E^[f(A∣L)I(A=a)Y].
而且往往后者更稳定.

注: 在 stabilized IP weights中必须要用后者.

More on stabilized weights

SWA=g(A)f[A∣L].SW^A = \frac{g(A)}{f[A|L]}. SWA=f[A∣L]g(A).
E^[I(A=a)Yf(A∣L)g(A)]E^[I(A=a)f(A∣L)g(A)].\frac{\hat{\mathbb{E}}[\frac{I(A=a)Y}{f(A|L)}g(A)]} {\hat{\mathbb{E}}[\frac{I(A=a)}{f(A|L)}g(A)]}. E^[f(A∣L)I(A=a)g(A)]E^[f(A∣L)I(A=a)Yg(A)].