无限维乘积空间（彼此独立）的测度（完）

符号

设 T={t:t∈T}T=\{t: t \in T\}T={t:t∈T} 为任意指标集, {(Ωt,Ft):t∈T}\left\{\left(\Omega_{t}, \mathscr{F}_{t}\right): t \in T\right\}{(Ωt,Ft):t∈T} 为一族可测空间，
Ω=∏t∈TΩt,F=∏t∈TFt\Omega=\underset{t \in T}{\prod} \Omega_{t}, \quad \mathscr{F}=\underset{t \in T}{\prod}{\mathcal{F}}_{t} Ω=t∈T∏Ωt,F=t∈T∏Ft
又 T1⊂TT_{1} \subset TT1⊂T 为 TTT 的任一子集, 记
ΩT1=∏t∈T1Ωt,FT1=∏t∈T1Ft\Omega_{T_{1}}=\underset{t \in T_{1}}{\prod} \Omega_{t}, \quad \mathscr{F}_{T_{1}}=\underset{t \in T_{1}}{\prod} \mathscr{F}_{t} ΩT1=t∈T1∏Ωt,FT1=t∈T1∏Ft
也可记Ω=ΩT,F=FT.\Omega=\Omega_{T}, \mathscr{F}=\mathscr{F}_{T} .Ω=ΩT,F=FT.

对 A∈FT1A \in \mathscr{F}_{T_{1}}A∈FT1
B1={(ωt,t∈T)∈ΩT:(ωα,α∈T1)∈A}B_{1}=\left\{\left(\omega_{t}, t \in T\right) \in \Omega_{T}:\left(\omega_{\alpha}, \alpha \in T_{1}\right) \in A\right\} B1={(ωt,t∈T)∈ΩT:(ωα,α∈T1)∈A}
称 B1B_{1}B1 为 Ω\OmegaΩ 中以 AAA 为基底的柱集.

对 T1⊂T2⊂T,T_{1} \subset T_{2} \subset T,T1⊂T2⊂T,
B2={(ωt,t∈T2)∈ΩT2:(ωα,α∈T1)∈A}B_{2}=\left\{\left(\omega_{t}, t \in T_{2}\right) \in \Omega_{T_{2}}:\left(\omega_{\alpha}, \alpha \in T_{1}\right) \in A\right\} B2={(ωt,t∈T2)∈ΩT2:(ωα,α∈T1)∈A}

称 B2B_{2}B2 为 ΩT2\Omega_{T_{2}}ΩT2 中以 AAA 为基底的柱集。

以 F‾T1\overline{\mathscr{F}}_{T_{1}}FT1 和 F‾T1T2\overline{\mathscr{F}}_{T_{1}}^{T_{2}}FT1T2 分别表示FT1\mathscr{F}_{T_{1}}FT1中所有基底在Ω\OmegaΩ和 ΩT2\Omega_{T_{2}}ΩT2 中的柱集全体.

设 C\mathscr{C}C 表示 Ω\OmegaΩ 中基底为有限维可测矩形的柱集全体,
A=⋃T1⊂TF‾T1\mathscr{A}=\bigcup_{T_{1} \subset T} \overline{\mathscr{F}}_{T_{1}} A=T1⊂T⋃FT1
表示 Ω\OmegaΩ 中有限维可测基底的柱集全体, 则由1.3的结果可知, C⊂A,\mathscr{C} \subset \mathscr{A},C⊂A, 且 A\mathscr{A}A 为域, σ(C)=σ(A)=F\sigma(\mathscr{C})=\sigma(\mathscr{A})=\mathscr{F}σ(C)=σ(A)=F

若 T1⊂T2⊂T,T_{1} \subset T_{2} \subset T,T1⊂T2⊂T, 规定 ΩT2\Omega_{T_{2}}ΩT2 到 ΩT1\Omega_{T_{1}}ΩT1 的映照 πT1T2\pi_{T_{1}}^{T_{2}}πT1T2 如下:
πT1T2{ωt:t∈T2}={ωt:t∈T1}\pi_{T_{1}}^{T_{2}}\left\{\omega_{t}: t \in T_{2}\right\}=\left\{\omega_{t}: t \in T_{1}\right\} πT1T2{ωt:t∈T2}={ωt:t∈T1}
则 πT1T2\pi_{T_{1}}^{T_{2}}πT1T2 是 ΩT2\Omega_{T_{2}}ΩT2 到 ΩT1\Omega_{T_{1}}ΩT1 的投影.

对 A∈FT1,A \in \mathscr{F}_{T_{1}},A∈FT1, 由于
(πT1T2)−1A=A×ΩT2\T1\left(\pi_{T_{1}}^{T_{2}}\right)^{-1} A=A \times \Omega_{T_{2} \backslash T_{1}} (πT1T2)−1A=A×ΩT2\T1
因此 πT1T2\pi_{T_{1}}^{T_{2}}πT1T2 是 (ΩT2,FT2)\left(\Omega_{T_{2}}, \mathscr{F}_{T_{2}}\right)(ΩT2,FT2) 到 (ΩT1,FT1)\left(\Omega_{T_{1}}, \mathscr{F}_{T_{1}}\right)(ΩT1,FT1) 的可测映照, 且
(πT1T2)−1FT1=F‾T1T2\left(\pi_{T_{1}}^{T_{2}}\right)^{-1} \mathscr{F}_{T_{1}}=\overline{\mathscr{F}}_{T_{1}}^{T_{2}} (πT1T2)−1FT1=FT1T2
（证明：把F‾T1T2\overline{\mathscr{F}}_{T_{1}}^{T_{2}}FT1T2的元素写出来就可以了）

若 PT2P_{T_{2}}PT2 为 (ΩT2,FT2)\left(\Omega_{T_{2}}, \mathscr{F}_{T_{2}}\right)(ΩT2,FT2) 上的概率, 则 PT2(πT1T2)−1P_{T_{2}}\left(\pi_{T_{1}}^{T_{2}}\right)^{-1}PT2(πT1T2)−1 为 (ΩT1,FT1)\left(\Omega_{T_{1}}, \mathscr{F}_{T_{1}}\right)(ΩT1,FT1) 上的概率.
（证明：PT2(πT1T2)−1(ΩT1)=PT2ΩT2=1P_{T_{2}}\left(\pi_{T_{1}}^{T_{2}}\right)^{-1}(\Omega_{T_{1}})=P_{T_{2}}\Omega_{T_{2}}=1PT2(πT1T2)−1(ΩT1)=PT2ΩT2=1）

反之，对 B∈F‾T1T2B \in \overline{\mathscr{F}}_{T_{1}}^{T_{2}}B∈FT1T2 必存在完全确定的 A=πT1T2(B)∈FT1,A=\pi_{T_{1}}^{T_{2}}(B) \in \mathscr{F}_{T_{1}},A=πT1T2(B)∈FT1, 使 B=(πT1T2)−1A.B=\left(\pi_{T_{1}}^{T_{2}}\right)^{-1} A .B=(πT1T2)−1A. 所以,
对 (ΩT1,FT1)\left(\Omega_{T_{1}}, \mathscr{F}_{T_{1}}\right)(ΩT1,FT1) 上的概率 PT1,P_{T_{1}},PT1, 由
Q(B)=Q((πT1T2)−1(A))=P(A)Q(B)=Q\left(\left(\pi_{T_{1}}^{T_{2}}\right)^{-1}(A)\right)=P(A) Q(B)=Q((πT1T2)−1(A))=P(A)
亦可完全确定地在 (ΩT2,F‾T1T2)\left(\Omega_{T_{2}}, \overline{\mathscr{F}}_{T_{1}}^{T_{2}}\right)(ΩT2,FT1T2) 上规定一个概率 Q.Q .Q. 特别地, 由 PT1P_{T_{1}}PT1 可在 (Ω,F‾T1)\left(\Omega, \overline{\mathcal{F}}_{T_{1}}\right)(Ω,FT1)
上规定一个概率.

命题 2.5.3

设对 TTT 的有限子集 T1={t1,⋯,tn}⊂T,T_{1}=\left\{t_{1}, \cdots, t_{n}\right\} \subset T,T1={t1,⋯,tn}⊂T, 以 PT1P_{T_{1}}PT1 表示 (ΩT1,FT1)\left(\Omega_{T_{1}}, \mathscr{F}_{T_{1}}\right)(ΩT1,FT1)
上的概率测度, 则:

对测度族 {PT1,\left\{P_{T_{1}},\right.{PT1, 有限 T1⊂T},\left.T_{1} \subset T\right\},T1⊂T}, 在 (Ω,F)(\Omega, \mathscr{F})(Ω,F) 上存在非负有限可加集函数 P,P,P, 对每个有限 T1⊂TT_{1} \subset T\quadT1⊂T满足
P(πT1T)−1=PT1P\left(\pi_{T_{1}}^{T}\right)^{-1}=P_{T_{1}}\quadP(πT1T)−1=PT1
的充要条件是

{PT1,T1⊂T}\left\{P_{T_{1}}, T_{1} \subset T\right\}{PT1,T1⊂T} 满足下列相容性条件:对 TTT 任意有限子集 T1,T2T_{1}, T_{2}T1,T2, T1⊂T2,T_{1} \subset T_{2},T1⊂T2, 有
PT2(πT1T2)−1=PT1P_{T_{2}}\left(\pi_{T_{1}}^{T_{2}}\right)^{-1}=P_{T_{1}} PT2(πT1T2)−1=PT1

证明： ⇒\Rightarrow⇒ 由于 πT1T2∘πT2T,\pi_{T_{1}}^{T_{2}} \circ \pi_{T_{2}}^{T},πT1T2∘πT2T, 故对 A∈FT1,A \in \mathscr{F}_{T_{1}},A∈FT1,
(πT1T)−1A=(πT2T)−1(πT1T2)−1A\left(\pi_{T_{1}}^{T}\right)^{-1} A=\left(\pi_{T_{2}}^{T}\right)^{-1}\left(\pi_{T_{1}}^{T_{2}}\right)^{-1} A (πT1T)−1A=(πT2T)−1(πT1T2)−1A
因此, 若存在 PPP 满足相容性, 必有PT1(A)=P((πT1T)−1A)=P((πT2T)−1(πT1T2)−1A)=PT2((πT1T2)−1A)P_{T_{1}}(A)=P\left(\left(\pi_{T_{1}}^{T}\right)^{-1} A\right)=P\left(\left(\pi_{T_{2}}^{T}\right)^{-1}\left(\pi_{T_{1}}^{T_{2}}\right)^{-1} A\right)=P_{T_{2}}\left(\left(\pi_{T_{1}}^{T_{2}}\right)^{-1} A\right) PT1(A)=P((πT1T)−1A)=P((πT2T)−1(πT1T2)−1A)=PT2((πT1T2)−1A)
所以⇒\Rightarrow⇒方向成立。

⇐\Leftarrow\quad⇐首先找到测度PPP。考虑B∈AB \in \mathscr{A}B∈A：
B=A1×ΩT−T1=A2×ΩT−T2,A1∈FT1,A2∈FT2B=A_{1} \times \Omega_{T-T_{1}}=A_{2} \times \Omega_{T-T_{2}}, \quad A_{1} \in \mathscr{F}_{T_{1}}, A_{2} \in \mathscr{F}_{T_{2}} B=A1×ΩT−T1=A2×ΩT−T2,A1∈FT1,A2∈FT2
其中 T1,T2T_{1}, T_{2}T1,T2 都是 TTT 的有限子集，则可取 S=T1∪T2S=T_{1} \cup T_{2}S=T1∪T2，将 BBB 记为
((πT1S)−1A1)×ΩT−S=A1×ΩT−T1=B=A2×ΩT−T2=((πT2S)−1A2)×ΩT−S\left(\left(\pi_{T_{1}}^{S}\right)^{-1} A_{1}\right) \times \Omega_{T-S}=A_{1} \times \Omega_{T-T_{1}}=B=A_{2} \times \Omega_{T-T_{2}}=\left(\left(\pi_{T_{2}}^{S}\right)^{-1} A_{2}\right) \times \Omega_{T-S} ((πT1S)−1A1)×ΩT−S=A1×ΩT−T1=B=A2×ΩT−T2=((πT2S)−1A2)×ΩT−S
因此 (πT1S)−1A1=(πT2S)−1A2,\left(\pi_{T_{1}}^{S}\right)^{-1} A_{1}=\left(\pi_{T_{2}}^{S}\right)^{-1} A_{2},(πT1S)−1A1=(πT2S)−1A2, 由 (2.5.15)(2.5 .15)(2.5.15) 式,
PT1(A1)=PS((πT1S)−1A1)=PS((πT2S)−1A2)=PT2(A2)P_{T_{1}}\left(A_{1}\right)=P_{S}\left(\left(\pi_{T_{1}}^{S}\right)^{-1} A_{1}\right)=P_{S}\left(\left(\pi_{T_{2}}^{S}\right)^{-1} A_{2}\right)=P_{T_{2}}\left(A_{2}\right) PT1(A1)=PS((πT1S)−1A1)=PS((πT2S)−1A2)=PT2(A2)
所以对有限维可测基底柱集 BBB, 虽然其基底不是唯一的, 但取其任一基底, 规定
P(B)=PT1(A1)P(B)=P_{T_{1}}\left(A_{1}\right) P(B)=PT1(A1)
是FT1\mathscr{F}_{T_{1}}FT1上的概率，因此也就是 F‾T1\overline{\mathscr{F}}_{T_{1}}FT1 上的概率，再证明A\mathscr{A}A上的有限可加性，注意这里PPP还只是一个有限可加的集函数，不是测度。

定理 2.5.4

{(Ωt,Ft,Pt),t∈T}\left\{\left(\Omega_{t}, \mathscr{F}_{t}, P_{t}\right), t \in T\right\}{(Ωt,Ft,Pt),t∈T} 为一族概率空间, 则在乘积可测空间(ΩT,FT)\left(\Omega_{T}, \mathscr{F}_{T}\right)(ΩT,FT) 上存在唯一概率测度 P,P,P, 满足对每个有限 T1⊂TT_{1} \subset TT1⊂T
P(πT1T)−1=∏t∈T1PtP\left(\pi_{T_{1}}^{T}\right)^{-1}=\underset{t \in T_{1}}{\mathrm{\prod}} P_{t} P(πT1T)−1=t∈T1∏Pt
注意，∏t∈T1Pt\underset{t \in T_{1}}{\mathrm{\prod}} P_{t}t∈T1∏Pt 是有限乘积空间的测度，可以用于Fubini定理。

证明：所以若 PPP 存在，因为有限维可测矩形柱集全体 C\mathscr{C}C 是一个 π\piπ 类，σ(C)=F\sigma(\mathscr{C})=\mathscr{F}σ(C)=F ，又由 P(πT1T)−1=∏t∈T1PtP\left(\pi_{T_{1}}^{T}\right)^{-1}=\underset{t \in T_{1}}{\mathrm{\prod}} P_{t}P(πT1T)−1=t∈T1∏Pt 可以保证在有限维可测矩形柱集上的是唯一确定的，因此唯一性可以保证。

对有限 T1⊂T,T_{1} \subset T,T1⊂T, 取 PT1=∏t∈T1Pt,P_{T_{1}}=\underset{t \in T_{1}}{\prod} P_{t},PT1=t∈T1∏Pt, 则容易说明 {PT1,\left\{P_{T_{1}},\right.{PT1, 有限 T1⊂T}\left.T_{1} \subset T\right\}T1⊂T} 满足相容性条件，因此由命题 2.5.3可知，可规定 PPP使之在 A\mathscr{A}A 上为有限可加的，且 P(ΩT)=1P\left(\Omega_{T}\right)=1P(ΩT)=1。因而还只需要证明 PPP 在 A\mathscr{A}A 上是 σ\sigmaσ 可加的。

为此, 在下面将证明, 对 A\mathscr{A}A 中每个递减到 ∅\varnothing∅ 的序列 {An}\left\{A_{n}\right\}{An} 都有
lim⁡n→∞P(An)=0\lim _{n \rightarrow \infty} P\left(A_{n}\right)=0 n→∞limP(An)=0

由于 AnA_{n}An 都是有限维柱集, 因此不妨设有 TTT 的可列子集 {tn,n≥1}\left\{t_{n}, n \geq 1\right\}{tn,n≥1} 使每个 AnA_{n}An 都是基底在 Ft1⋯tn\mathscr{F}_{t_{1} \cdots t_{n}}Ft1⋯tn 的有限维柱集。（可数个可数集合的并是可数的，如果 AnA_{n}An 的基底不够则用 Ωtn\Omega_{t_{n}}Ωtn 代替）。

若 TnT_{n}Tn 为 TTT 的有限子集, 记
ΩTn=∏t∈TnΩt,PTn=∏t∈TnPt\Omega_{T_{n}}=\underset{t \in T_{n}}{\prod} \Omega_{t}, \quad P_{T_{n}}=\underset{t \in T_{n}}{\prod} P_{t} ΩTn=t∈Tn∏Ωt,PTn=t∈Tn∏Pt
又令 PT−TnP_{T-T_{n}}PT−Tn 为 ΩT−Tn\Omega_{T-T_{n}}ΩT−Tn 上对有限维可测柱集规定的可加集函数, 它满足
PT−Tn(πu1⋯unT−Tn)−1=∏i=1nPui,u1⋯,un∈T−TnP_{T-T_{n}}\left(\pi_{u_{1} \cdots u_{n}}^{T-T_{n}}\right)^{-1}=\prod_{i=1}^{n} P_{u_{i}}, \quad u_{1} \cdots, u_{n} \in T-T_{n} PT−Tn(πu1⋯unT−Tn)−1=i=1∏nPui,u1⋯,un∈T−Tn

由 Fubini 定理，对有限维可测柱集 A=B×ΩT−Tk,B∈FTkA=B \times \Omega_{T-T_{k}}, B \in \mathscr{F}_{T_{k}}A=B×ΩT−Tk,B∈FTk 若 Tn={t1,⋯,tn}⊂Tk,A(ωt1,⋯,ωtn)T_{n}=\left\{t_{1}, \cdots, t_{n}\right\} \subset T_{k}, A\left(\omega_{t_{1}}, \cdots, \omega_{t_{n}}\right)Tn={t1,⋯,tn}⊂Tk,A(ωt1,⋯,ωtn) 表示 AAA 的 (ωt1,⋯,ωtn)\left(\omega_{t_{1}}, \cdots, \omega_{t_{n}}\right)(ωt1,⋯,ωtn) 截口。A(ωt1,⋯,ωtn)A\left(\omega_{t_{1}}, \cdots, \omega_{t_{n}}\right)A(ωt1,⋯,ωtn)表示 AAA 集合里固定 (ωt1,⋯,ωtn)\left(\omega_{t_{1}}, \cdots, \omega_{t_{n}}\right)(ωt1,⋯,ωtn) 的那些元素。

PTk=PTk−Tn×PTnP_{T_{k}}=P_{T_{k}-T_{n}} \times P_{T_{n}}PTk=PTk−Tn×PTn 都是有限维乘积空间上的测度，所以
PTk(B)=∬IBdPTk−TndPTn=∫PTk−Tn(B(ωt1,⋯,ωtn))dPTnP_{T_{k}}(B)=\iint I_{B} \mathrm{d} P_{T_{k}-T_{n}} \mathrm{d} P_{T_{n}} \\ =\int P_{T_{k}-T_{n}}\left(B\left(\omega_{t_{1}}, \cdots, \omega_{t_{n}}\right)\right) \mathrm{d} P_{T_{n}} PTk(B)=∬IBdPTk−TndPTn=∫PTk−Tn(B(ωt1,⋯,ωtn))dPTn
由于
(πTk−TnT)−1B(ωt1,⋯,ωtn)=A(ωt1,⋯,ωtn)\left(\pi_{T_{k}-T_{n}}^{T}\right)^{-1}B\left(\omega_{t_{1}}, \cdots, \omega_{t_{n}}\right)=A\left(\omega_{t_{1}}, \cdots, \omega_{t_{n}}\right) (πTk−TnT)−1B(ωt1,⋯,ωtn)=A(ωt1,⋯,ωtn)
所以
P(A)=P((πTkT)−1B)=PTk(B)=∫PT−Tn(A(ωt1,⋯,ωtn))dPTn\begin{aligned} P(A) &=P\left(\left(\pi_{T_{k}}^{T}\right)^{-1} B\right)=P_{T_{k}}(B) & \\ &=\int P_{T-T_{n}}\left(A\left(\omega_{t_{1}}, \cdots, \omega_{t_{n}}\right)\right) \mathrm{d} P_{T_{n}} \end{aligned} P(A)=P((πTkT)−1B)=PTk(B)=∫PT−Tn(A(ωt1,⋯,ωtn))dPTn

下面用反证法来证明
lim⁡n→∞P(An)=0\lim _{n \rightarrow \infty} P\left(A_{n}\right)=0 n→∞limP(An)=0

若对某递减序列 {An}\left\{A_{n}\right\}{An} 不成立，则有某个 ε>0\varepsilon>0ε>0 对每个 nnn 有P(An)≥εP\left(A_{n}\right) \geq \varepsilonP(An)≥ε。

对于柱集列 {An}\left\{A_{n}\right\}{An} 做简单调整后, 我们总可以选取参数列 {t1⋯tn}⊂T\left\{t_{1} \cdots t_{n}\right\} \subset T{t1⋯tn}⊂T，设柱集 AnA_{n}An 的基底是 {t1⋯tn}\left\{t_{1} \cdots t_{n}\right\}{t1⋯tn}，由于 {An}\left\{A_{n}\right\}{An} 是递减的，那么柱集 An+1A_{n+1}An+1 的基底包含 {t1⋯tn}\left\{t_{1} \cdots t_{n}\right\}{t1⋯tn}。由此我们可以得到一个递增的基底序列：{t1⋯tn}⊂{t1⋯tn,⋯ts}⊂⋯\left\{t_{1} \cdots t_{n}\right\}\subset \left\{t_{1} \cdots t_{n}, \cdots t_s\right\} \subset \cdots{t1⋯tn}⊂{t1⋯tn,⋯ts}⊂⋯。规定 {An}\left\{A_{n}\right\}{An} 的基底都在 TTT 上，用这些有限的基底分别作用上去：

令
Bn={(ωt1…ωtn1):PT−{t1⋯tn1}(An(ωt1…ωtn1))≥ε/2}B_{n}=\left\{\left(\omega_{t_{1}}\dots\omega_{t_{n_1 }}\right): P_{T-\left\{t_{1} \cdots t_{n_1}\right\}}\left(A_{n}\left(\omega_{t_{1}}\dots\omega_{t_{n_1}}\right)\right) \geq \varepsilon / 2\right\} Bn={(ωt1…ωtn1):PT−{t1⋯tn1}(An(ωt1…ωtn1))≥ε/2}

代入上面Fubini定理得到的公式：
ε≤P(An)=∫PT−{t1⋯tn1}(A(ωt1,⋯,ωtn1))dP{t1⋯tn1}=∫BnPT−{t1⋯tn1}(A(ωt1,⋯,ωtn1))dP{t1⋯tn1}+∫BncPT−{t1⋯tn1}(A(ωt1,⋯,ωtn1))dP{t1⋯tn1}≤P{t1⋯tn1}(Bn)+ε/2\begin{aligned} \varepsilon \leq P(A_n) &=\int P_{T-\left\{t_{1} \cdots t_{n_1}\right\}}\left(A\left(\omega_{t_{1}}, \cdots, \omega_{t_{n_1}}\right)\right) \mathrm{d} P_{\left\{t_{1} \cdots t_{n_1}\right\}}\\ &=\int_{B_{n}}P_{T-\left\{t_{1} \cdots t_{n_1}\right\}}\left(A\left(\omega_{t_{1}}, \cdots, \omega_{t_{n_1}}\right)\right) \mathrm{d} P_{\left\{t_{1} \cdots t_{n_1}\right\}}+\int_{B_{n}^{c}} P_{T-\left\{t_{1} \cdots t_{n_1}\right\}}\left(A\left(\omega_{t_{1}}, \cdots, \omega_{t_{n_1}}\right)\right) \mathrm{d} P_{\left\{t_{1} \cdots t_{n_1}\right\}} \\&\leq P_{\left\{t_{1} \cdots t_{n_1}\right\}}\left(B_{n}\right)+\varepsilon / 2 \end{aligned} ε≤P(An)=∫PT−{t1⋯tn1}(A(ωt1,⋯,ωtn1))dP{t1⋯tn1}=∫BnPT−{t1⋯tn1}(A(ωt1,⋯,ωtn1))dP{t1⋯tn1}+∫BncPT−{t1⋯tn1}(A(ωt1,⋯,ωtn1))dP{t1⋯tn1}≤P{t1⋯tn1}(Bn)+ε/2
（把概率放大成1）

故 P{t1⋯tn1}(Bn)≥ε/2P_{\left\{t_{1} \cdots t_{n_1}\right\}}\left(B_{n}\right) \geq \varepsilon / 2P{t1⋯tn1}(Bn)≥ε/2。又由于 {Bn}\left\{B_{n}\right\}{Bn} 为 F{t1⋯tn1}\mathscr{F}_{\left\{t_{1} \cdots t_{n_1}\right\}}F{t1⋯tn1} 中递减序列（ AnA_{n}An 递减），因而由 P{t1⋯tn1}P_{\left\{t_{1} \cdots t_{n_1}\right\}}P{t1⋯tn1} 为 (Ω{t1⋯tn1},F{t1⋯tn1})\left(\Omega_{\left\{t_{1} \cdots t_{n_1}\right\}}, \mathscr{F}_{\left\{t_{1} \cdots t_{n_1}\right\}}\right)(Ω{t1⋯tn1},F{t1⋯tn1}) 上的概率可知，必存在 ωˉ{t1⋯tn1}∈⋂nBn\bar{\omega}_{{\left\{t_{1} \cdots t_{n_1}\right\}}} \in \bigcap_{n} B_{n}ωˉ{t1⋯tn1}∈⋂nBn 这时
PT−{t1⋯tn1}(An(ωˉt1…ωˉtn1))≥ε/2,n≥1P_{T-{\left\{t_{1} \cdots t_{n_1}\right\}}}\left(A_{n}\left(\bar{\omega}_{t_{1}}\dots \bar{\omega}_{t_{n_1}}\right)\right) \geq \varepsilon / 2, \quad n \geq 1 PT−{t1⋯tn1}(An(ωˉt1…ωˉtn1))≥ε/2,n≥1

把刚才用于 ΩT,An,ε\Omega_{T}, A_{n}, \varepsilonΩT,An,ε 的论证, 现在用于 ΩT−{t1⋯tn1},An(ωˉt1…ωˉtn1),ε/2,\Omega_{T-\left\{t_{1}\cdots t_{n_1}\right\}}, A_{n}\left(\bar{\omega}_{t_{1}}\dots \bar{\omega}_{t_{n_1}}\right), \varepsilon / 2,ΩT−{t1⋯tn1},An(ωˉt1…ωˉtn1),ε/2, 可得 ωˉtn1+1⋯tn2\bar{\omega}_{t_{n_1+1}\cdots t_{n_2}}ωˉtn1+1⋯tn2 满足:
PT−{t1⋯tn1⋯tn2}(An(ωˉt1⋯tn1,ωˉtn1+1⋯tn2))≥ε/4,n≥1P_{T-\left\{t_{1}\cdots t_{n_1}\cdots t_{n_2}\right\}}\left(A_{n}\left(\bar{\omega}_{t_{1}\cdots t_{n_1}}, \bar{\omega}_{t_{n_1+1}\cdots t_{n_2}}\right)\right) \geq \varepsilon / 4, \quad n \geq 1 PT−{t1⋯tn1⋯tn2}(An(ωˉt1⋯tn1,ωˉtn1+1⋯tn2))≥ε/4,n≥1

继续这一过程可得

PT−Tj(An(ω^1,⋯,ω^j))≥ε/2j,n≥1,j≥1P_{T-T_j}\left(A_{n}\left(\hat{\omega}_{1}, \cdots, \hat{\omega}_{j}\right)\right) \geq \varepsilon / 2^{j}, \quad n \geq 1, \quad j \geq 1 PT−Tj(An(ω^1,⋯,ω^j))≥ε/2j,n≥1,j≥1
这里：Tj={t1⋯tn1⋯tnj},ω^j=ωˉtnj−1+1⋯tnjT_j=\{t_1\cdots t_{n_1}\cdots t_{n_j}\}, \hat{\omega}_{j}=\bar{\omega}_{t_{n_{j-1}+1}\cdots t_{n_j}}Tj={t1⋯tn1⋯tnj},ω^j=ωˉtnj−1+1⋯tnj

构造ωˉ=(ωt,t∈T)\bar{\omega}=\left(\omega_{t}, t \in T\right)ωˉ=(ωt,t∈T)，如果t∉Tj,j≥1t \notin T_{j}, j \geq 1t∈/Tj,j≥1，分量在 Ωt\Omega_{t}Ωt 任取，如果t∈Tj,∃j≥1t \in T_{j}, \exist j \geq 1t∈Tj,∃j≥1，那么分量取ω^j\hat{\omega}_jω^j。

接着将证明
ωˉ∈⋂n=1∞An\bar{\omega}\in \bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n} ωˉ∈n=1⋂∞An

由递减性，A1A_{1}A1 是基底在 FT1\mathscr{F}_{T_{1}}FT1 的柱集, PT−T1(A1(ω^1))≥ε/2P_{T-T_{1}}\left(A_{1}\left(\hat{\omega}_{1}\right)\right) \geq \varepsilon / 2PT−T1(A1(ω^1))≥ε/2。故A1(ω^1)A_{1}\left(\hat{\omega}_{1}\right)A1(ω^1)非空，ωˉ∈A1\bar{\omega} \in A_{1}ωˉ∈A1。同理
PT−Tj(Aj(w^1,⋯,ω^j))≥ε/2jP_{T-T_j}\left(A_{j}\left(\hat{w}_{1}, \cdots, \hat{\omega}_{j}\right)\right) \geq \varepsilon / 2^{j} PT−Tj(Aj(w^1,⋯,ω^j))≥ε/2j
故 Aj(ω^1,⋯,ω^j)A_{j}\left(\hat{\omega}_{1}, \cdots, \hat{\omega}_{j}\right)Aj(ω^1,⋯,ω^j) 非空（ AjA_jAj 是柱集，它的一个截口非空）。所以有 ωˉ∈Aj\bar{\omega} \in A_{j}ωˉ∈Aj 。这和 AnA_nAn 递减到空集矛盾。