Educational Codeforces Round 7 F. The Sum of the k-th Powers（拉格朗日插值）

题目链接：https://codeforces.com/contest/622/problem/F

mark一个dls拉个朗日插值的板子

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define xx first
#define yy second
#define mp make_pair
#define pb push_back
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
// 注意mod，使用前须调用一次 polysum::init(int M);
// 对于k阶多项式，输入k+1个点
namespace polysum
{#define rep(i,a,n) for(int i=a;i<n;i++)#define per(i,a,n) for(int i=n-1;i>=a;i--)typedef long long ll;const ll mod=1e9+7;//取模值const int D=1010000;//最高次限制ll powmod(ll a,ll b){ll res=1;a%=mod;assert(b >= 0);for(;b;b>>=1){if(b&1)res=res*a%mod;a=a*a%mod;}return res;}ll a[D],f[D],g[D],p[D],p1[D],p2[D],b[D],h[D][2],C[D];ll calcn(int d,ll *a,ll n){if(n<=d) return a[n];p1[0]=p2[0]=1;rep(i,0,d+1){ll t=(n-i+mod)%mod;p1[i+1]=p1[i]*t%mod;}rep(i,0,d+1){ll t=(n-d+i+mod)%mod;p2[i+1]=p2[i]*t%mod;}ll ans=0;rep(i,0,d+1){ll t=g[i]*g[d-i]%mod*p1[i]%mod*p2[d-i]%mod*a[i]%mod;if((d-i)&1) ans=(ans-t+mod)%mod;else ans=(ans+t)%mod;}return ans;}void init(int M) {  //M：最高次f[0]=f[1]=g[0]=g[1]=1;rep(i,2,M+5) f[i]=f[i-1]*i%mod;g[M+4]=powmod(f[M+4],mod-2);per(i,1,M+4) g[i]=g[i+1]*(i+1)%mod;}ll polysum(ll n,ll *arr,ll m){  // a[0].. a[m] \sum_{i=0}^{n-1} a[i]for(int i=0;i<=m;i++)a[i]=arr[i];a[m+1]=calcn(m,a,m+1);rep(i,1,m+2) a[i]=(a[i-1]+a[i])%mod;return calcn(m+1,a,n-1);}ll qpolysum(ll R,ll n,ll *a,ll m) { // a[0].. a[m] \sum_{i=0}^{n-1} a[i]*R^i if(R==1) return polysum(n,a,m);a[m+1]=calcn(m,a,m+1);ll r=powmod(R,mod-2),p3=0,p4=0,c,ans;h[0][0]=0;h[0][1]=1;rep(i,1,m+2){h[i][0]=(h[i-1][0]+a[i-1])*r%mod;h[i][1]=h[i-1][1]*r%mod;}rep(i,0,m+2){ll t=g[i]*g[m+1-i]%mod;if(i&1) p3=((p3-h[i][0]*t)%mod+mod)%mod,p4=((p4-h[i][1]*t)%mod+mod)%mod;else p3=(p3+h[i][0]*t)%mod,p4=(p4+h[i][1]*t)%mod;}c=powmod(p4,mod-2)*(mod-p3)%mod;rep(i,0,m+2) h[i][0]=(h[i][0]+h[i][1]*c)%mod;rep(i,0,m+2) C[i]=h[i][0];ans=(calcn(m,C,n)*powmod(R,n)-c)%mod;if(ans<0) ans+=mod;return ans;}
}using namespace polysum;
ll num[D];
int main()
{//freopen("in.txt","r",stdin);//freopen("out.txt","w",stdout);int n,k;scanf("%d%d",&n,&k);init(k+1);for(int i=0;i<=k;i++)num[i]=powmod(i,k);cout<<polysum::polysum(n+1,num,k)-polysum::polysum(1,num,k)<<endl;return 0;
}

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